矩阵加法和标量乘法的性质12年级数学

矩阵只是一个矩形数组或一组元素。矩阵可以定义为m * n元素，形式为m条水平线(行)，n条垂直线(列)，称为m * n阶矩阵。元素可以是实数，复数或未知数。一个m * n矩阵显然看起来像：

在上图中，绘制了一个阶数为m * n的矩阵，其中I和j表示元素的精确位置(i，j)。

矩阵类型

可用的矩阵类型很多，下面将介绍其中的几种。

行矩阵

仅具有一行的矩阵称为行矩阵。

例子：

$\begin{bmatrix}4 &1 & 9\end{bmatrix}$

列矩阵

仅具有一列的矩阵称为列矩阵。

例子：

$\begin{bmatrix}1\\5 \\7 \end{bmatrix}$

零或空矩阵

所有元素均为0的矩阵称为零或零矩阵。

例子 ：

$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

方阵

具有相同的列数和行数的矩阵被称为方矩阵。

例子 ：

$\begin{bmatrix}3 & 1 & 5\\ 4 & 6 & 9\\ 1 & 2 & 8\end{bmatrix}$

对角矩阵

除对角线元素以外所有元素均为零的矩阵称为对角线矩阵。

例子 ：

$\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}$

标量矩阵

所有对角元素都相同的特殊对角矩阵称为标量矩阵。  

例子 ：

$\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$

身份矩阵

单位矩阵是所有对角元素均为1的标量矩阵。

例子 ：

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

零矩阵的性质

当我们从任何其他矩阵中添加或减去阶数为m * n的0矩阵时，它将返回相同的矩阵。简而言之， “ A + 0 = A”和“ A – 0 = A”。

例子 ：

同样，您可以看到从任何其他矩阵中减去Null矩阵将得出另一个矩阵本身。

在所有类型的矩阵中，在所有乘法情况下，只有零矩阵秩始终为零。

矩阵加法的性质

当且仅当矩阵的顺序相同时，才能将一个矩阵与另一个矩阵相加。加法将在矩阵的元素之间进行。所得矩阵也将具有相同的阶数。即[A] m×n + [B] m×n = [C] m×n

例如：

矩阵加法具有各种独特的属性。我们将讨论以下属性：

1. 加法的交换性质，即A + B = B + A
2. 加成的缔合属性，即A +(B + C)=(A + B)+ C
3. 附加身份属性。对于任何矩阵A，都有一个唯一的矩阵O，使得A + O = A
4. 反加性。当我们向A添加唯一矩阵–A时，得到O矩阵， A +(-A)=O。
5. 加法A + B = C的闭包特性，其中C是与A和B尺寸相同的矩阵。

A，B和C是相同阶数m * n的矩阵。要添加两个具有相同顺序的矩阵，只需添加每个矩阵的相应元素。让我们详细讨论Matrix的加法属性。

矩阵加法的交换性质

此属性表明可以以任何方式添加相同顺序的任何两个矩阵。假设有两个矩阵A和B的阶次为m * n，那么矩阵加法的交换性质为： A + B = B + A

例子 ：

从上面的示例中，您可以看到矩阵加法遵循交换定律。

矩阵加法的缔合性质

同样，如果三个矩阵具有相同的顺序，则它们的位置也无所谓。假设存在三个m * n阶的矩阵A，B和C，则矩阵加法的缔合特性为： A +(B + C)=(A + B)+ C

例子：

从上面的示例中，您可以看到矩阵加法遵循关联律。

矩阵加法的加法同一性

我们已经讨论了零矩阵，可以将O矩阵添加到任何矩阵以获得相同的结果。根据矩阵加法的加和同一性，对于给定的m * n矩阵A，存在一个m * n矩阵O，使得： A + O = A

在此，O是m * n阶零矩阵。

因此，如果将矩阵添加到零矩阵，则将获得原始矩阵。

矩阵加法的加法逆性质

矩阵中有一个规则，即任何矩阵A的逆都是相同阶数的–A。简而言之，对于给定的m * n阶矩阵A，存在一个唯一的矩阵B，使得： A + B = O

Note: This matrix B is equal to –A i.e. B = -A

Therefore, A + (-A) = O

例子：

我们已经讨论了矩阵加法的各种属性。现在我们将讨论矩阵标量乘法的一些独特属性。

矩阵标量乘法的性质

标量乘法是指矩阵与实数的乘积。在标量乘法中，每个条目都与给定的标量相乘。标量是标量乘法中的实数。

例子：

因此，很明显，矩阵可以乘以任何标量。

矩阵乘法具有一些独特的性质。下面列出了其中一些：

1. 乘法的关联性质，即(cd)A = c(dA)
2. 分布特性，即c [A + B] = c [A] + c [B]
3. 乘法身份属性，即1.A = A
4. 零的乘性，即0.A = 0 c.0 = 0
5. 乘法cA的闭包性质是与A维度相同的矩阵

Note: A is a matrix of order m*n, c, and d are scalars, and O is a zero matrix.

矩阵标量乘法的关联性质：

根据乘法的关联属性，如果将一个矩阵与两个标量相乘，则可以先将标量相乘，然后将结果相乘到Matrix上，或者可以将Matrix乘以一个标量，然后再将结果与另一个标量相乘，即(cd)A = c(dA)

例如：

在这里，我们将两个标量设为2和3。

所以，

$(cd) A= (2 \times 3) \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 6 \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 42\\ 24 & 30 \end{bmatrix}$
$c(dA)= 2 \times (3 \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix}) = 2 \times \begin{bmatrix} 3 & 21\\ 12 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 42\\ 24 & 30 \end{bmatrix}$

从上面的示例中，您可以看到两种情况下的结果都是相同的。

矩阵标量乘法的分布特性

分布特性清楚地证明了标量可以分布在矩阵加法上，也可以分布在矩阵上。

1. c(A + B)= cA + cB

例如：

$c(A+B)= 2 \times \begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 6 & 1 \end{bmatrix}\end{pmatrix} = 2 \times\begin{bmatrix} 3 & 10\\ 10 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 20\\ 20 & 12 \end{bmatrix}$
$cA+cB= 2 \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 2 \times\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 6 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 14\\ 8 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 6\\ 12 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 20\\ 20 & 12 \end{bmatrix}$

2. (c + d)A = cA + dA

$(c+d)A= (2+3) \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 5 \times\begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 35\\ 20 & 25 \end{bmatrix}$
$cA +dA= 2 \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 3\times\begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &14\\ 8 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 &21\\ 12 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 &35\\ 20 & 25 \end{bmatrix}$

矩阵标量乘法的乘法恒等性

如果将任何矩阵A乘以标量1，则结果就是原始矩阵A。

1.A = A

$1 \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix}$

Note: Scalar 1 will be multiplicative identity in scalar multiplication.

零的乘性

根据零的乘法性质，如果将任何m * n阶矩阵A与标量0相乘，则结果为m * n零矩阵O。这遵循实数系统中零的乘法性质。如果将任何实数x乘以0，则结果始终为0。如果将任何标量乘以零矩阵，则结果与零矩阵相同。

0.A = 0

$0 \times \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

c.0 = 0

$5 \times \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

矩阵标量乘法的闭合性质

Closure属性只是声明如果您有标量X和矩阵A的阶次为m * n，则每个元素都将与X相乘。此属性表明，如果将m * n阶的矩阵A乘以任何标量，则矩阵的阶数保持与m * n相同。