河内塔计划

介绍

河内塔计划（Tower of Hanoi）是一个经典的递归思维题，也是算法学习的基础内容。问题的起源是根据传说在一个印度寺庙里，有一个森罗塔（Tower of Brahma）神庙，塔内有三个座和64个大小均不相同的金盘。传说开始时，所有的金盘都放置在一个座上，最重的金盘在底部，其余盘子重量依次减小。神庙的众僧需要将所有的盘子移动到另一个座上，但是他们只能小心地将一个盘子移动到任何一个座上，并且被放置在盘子大于自身的盘子上。完成这个任务之后，传说说地球将被毁灭。

规则

河内塔问题的规则简单明了，即给定三个棒子及n个大小不等的圆盘，初始时所有圆盘按照大小关系从小到大依次放置在左边的棒子上，要求按照如下规则把所有圆盘从左边的棒子移动到右边的棒子：

1. 每次只能移动一个圆盘；
2. 圆盘可以放置在三个棒子上任意一个；
3. 大圆盘不能放置在小圆盘上。

解法

递归法

河内塔问题最简单且最常用的方法是递归。我们可以将问题划分为两个子问题：把n-1个盘子从A（起始位置）移至B（中转位置），再把第n个盘子从A移至C（目标位置），最后把n-1个盘子从B移至C。这三个子问题均可以采用相同的方法递归解决，即再次调用函数 hanoi。

下面是递归法的代码示例：

def hanoi(n, a, b, c):
    if n == 1:
        print("Move disk 1 from {} to {}".format(a, c))
        return
    hanoi(n-1, a, c, b)
    print("Move disk {} from {} to {}".format(n, a, c))
    hanoi(n-1, b, a, c)

非递归法

非递归法的思路比较复杂，但也是一种值得尝试的方法。它根据圆盘个数的奇偶性来选择不同的方案。当圆盘个数为偶数时，移动顺序为"AB AC BC AB AC CB AB AC"；当圆盘个数为奇数时，移动顺序为"AB AC BA AC CB BC AB AC BA CB AC BA AC"。

下面是非递归法的代码示例：

def hanoi(n, a, b, c):
    if n % 2 == 0:
        for i in range(n // 2):
            print("Move disk {} from {} to {}".format(i*2+1, a, b))
            print("Move disk {} from {} to {}".format(i*2+2, a, c))
            print("Move disk {} from {} to {}".format(i*2+1, b, c))
    else:
        for i in range(n // 2 + 1):
            if i == n // 2:
                print("Move disk {} from {} to {}".format(i*2+1, a, c))
            else:
                print("Move disk {} from {} to {}".format(i*2+1, a, b))
                print("Move disk {} from {} to {}".format(i*2+2, a, c))
                print("Move disk {} from {} to {}".format(i*2+1, b, c))

总结

通过河内塔问题的解法，我们可以理解递归法的思想，并领悟算法设计的基本规则。在实际开发中，递归法并不是最优解，因为它的递归深度较大，容易导致栈溢出，而非递归法虽然思路较为复杂，但在实际应用中十分高效，应该优先选择。