使用复数的几何<std::complex>在C++中|套装1

在解决几何问题时，定义用于在2D平面或欧几里得平面上指定点的点类非常耗时。因此，本文指定了一种使用C++中来自STL的复杂类来实现相同方法的更快，更聪明的方法。
在实施之前，必须了解什么是复数以及它们如何帮助表示2D平面上的点。

什么是复数?

复数的形式为

a + bi
where, a is the real part
b is the imaginary part

从图中可以看出，复数可以在2D平面上表示。因此，对于点(a，b)，我们可以有一个复数a + bi，其中a是X坐标，b是Y坐标。
重要说明： i ² = -1

• 复数的极坐标形式：可视化和表示复数的另一种方式是极坐标形式。极坐标形式使用’r’形式的复数的大小和’θ’形式的复数的方向。
  那么具有这些参数的复数为r(cosθ+isinθ)。
  注意：θ被认为是弧度。

  ^reiθ = r(cosθ+isinθ)

  

• 共轭复数：
  如果z = a + bi，则z的共轭为z’= a – bi。
  如果z =(r，θ)，则z的共轭为z’=(r，-θ)
  复数的共轭可用于获得某些特殊属性，如下所示：
  • z + z’=(a + bi)+(a – bi)= 2a
    实部=(复数+共轭)/ 2
  • z – z’=(a + bi)–(a – bi)= 2b
    虚部=(复数–共轭)/ 2
  • z * z’=(a + bi)*(a – bi)= a2 – b2i2 + 2abi – 2abi = a2 + b2
    幅度² =复数*共轭

如何使用复数?

让我们考虑欧几里得平面上的点P(a，b)。现在我们使一个复数z = a + bi并得出两者之间的等价关系。与P关联的一些属性是：

1. P的X坐标：我们可以简单地说X坐标= a。因此，返回z的实部。
2. P的Y坐标：我们可以简单地说Y坐标= b。因此，返回z的虚部。
3. P到原点的距离(0，0)： P到原点的距离= sqrt((a-0) ² +(b-0) ² )= sqrt(a ² + b ² )
   z的幅度= sqrt(a ² + b ² )
   因此，返回z的大小。
4. OP与X轴的夹角，其中O是原点： OP与X轴的夹角= tan ^-1 (b / a)
   参数，即z的参数theta可以如下得出：
   rcosθ= a…..(i)
   rsinθ= b…..(ii)
   (ii)除以(i)
   tanθ=(b / a)
   θ= tan ^-1 (b / a)
   因此，返回z的参数。
5. P绕原点旋转：绕原点旋转点不会改变其与原点的距离，而只会改变PO与X轴的夹角。
   因此，如果我们考虑极数形式的复数，则可以更好地理解旋转当量。
   z = ^reiθ
   让点沿逆时针方向旋转“α”。
   点现在变成重^I(θ+α)=重新^{Iθ* 1EIα=} Z * ^1EIα
   因此，返回z * polar(1，α)。
   其中，polar(r，θ)是一般表示。

让我们考虑欧几里得平面上的点P(a，b)和Q(c，d)。基本上可以将其视为向量，其长度等于X轴所确定的距原点和方向的距离。 (如果将点作为向量，则可以更好地理解许多属性，这是各种几何算法中的关键思想之一)。
现在让我们考虑z1 = a + bi和z2 = c + di。
与P和Q相关的一些属性是：

1. 向量加法：

   (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
   z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

   因此，返回z1 + z2。

2. 向量减法：只需返回

   z1 – z2

3. PQ线的斜率：

   z2 – z1 gives the angle of elevation

   因此，线PQ的斜率由仰角的切线给出。
   因此，返回z2 – z1的参数的正切值。

4. 欧氏距离：

   Distance of P from Q = sqrt((a-c)2 + (b-d)2)
   Magnitude of z1 – z2 = sqrt((a-c)2 + (b-d)2)

   因此，返回z1 – z2的大小。

   An important construction which will be used frequently in geometric problems is z1’z2.
   Let’s compute this:
   z1’ = a – bi
   z1’z2 = (a – bi)*(c + di) = ac + adi – bci + bd = (ac + bd) + (ad – bc)i
   

5. 点积：向量P和Q的点积为

   (ac + bd)

   这与上述构造的实际部分相同。因此，返回z1’z2的实部。

6. 跨产品：跨产品的向量P和Q的幅度

   (ad – bc)

   这与上述构造的假想部分相同。因此，返回z1’z2的虚部。

Set 2中涵盖了复杂类的实现部分