Quizlet：标准针孔相机的无穷远点(1 1 1 0)的投影是什么？

在进行计算机视觉相关任务时，经常需要对图像进行投影变换。在相机标定中，我们需要确定相机内部的各种参数，如相机矩阵 K、畸变系数等，以用于将相机坐标系中的点映射到图像平面上。本文将介绍标准针孔相机的内部参数和相机坐标系下给定点的投影计算方法。

1. 标准针孔相机简介

标准针孔相机是最简单的相机模型之一，它将光学系统简化为一个针孔，如下图所示。光线从场景中的点向针孔进入相机，然后被投影到相机成像平面上。

标准针孔相机的优点在于其简单性和精度。与其他相机模型相比，它的计算量小，且具有较高的内在几何精度。因此，在很多计算机视觉任务中，如立体匹配、三维重建等，都使用标准针孔相机来进行相机标定和投影变换。

2. 相机内部参数

标准针孔相机的内部参数如下：

• 焦距 f：表示相机成像平面到针孔的距离，单位为毫米。
• 光心 cx, cy：表示相机成像平面上的主点位置，通常情况下为图像中心，单位为像素。
• 像素尺寸：表示相机成像平面上一个像素的大小，单位为毫米/像素。

这些参数通常被组合成相机矩阵 K：$$ K = \begin{bmatrix} f & 0 & cx \ 0 & f & cy \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

3. 相机坐标系和像素坐标系

图像采集时，相机需要将三维实际场景转换为二维像素数据，这种转换称为投影变换。在标准针孔相机中，投影变换将相机坐标系中的三维点 $(X,Y,Z)$ 投影到像素坐标系中的二维点 $(u,v)$。

相机坐标系的原点位于针孔位置，X、Y、Z 分别沿着相机的右、下、前方向，如下图所示。

像素坐标系的原点位于图像左上角，u、v 分别为像素坐标系中的水平和竖直位置，如下图所示。

4. 投影变换

对于给定的相机坐标系中的点 $(X,Y,Z)$，其在成像平面上的投影坐标 $(u,v)$ 如下所示：$$ \begin{bmatrix} u \ v \ 1 \end{bmatrix} = K \begin{bmatrix} X \ Y \ Z \end{bmatrix} $$

其中，$K$ 为相机矩阵，$(u,v)$ 为像素坐标系中的投影位置。

5. 结论

对于标准针孔相机，根据上面的公式，我们可以计算出任意给定相机坐标系中的三维点在成像平面上的像素坐标。在本题中，我们需要计算无穷远点 $(1,1,1,0)$ 在图片中的投影位置，即：

$$ \begin{bmatrix} u \ v \ 1 \end{bmatrix} = K \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} u \ v \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f+cx \ f+cy \ 1 \end{bmatrix} $$

这里假设针孔位于相机坐标系原点，由于无穷远点在相机坐标系中的 $w=0$，因此通过投影矩阵计算得到的 $z$ 坐标为 1。最终得到的像素坐标为 $(u,v) = (f+cx, f+cy)$。

返回的代码如下：

# Quizlet：标准针孔相机的无穷远点(1 1 1 0)的投影是什么？

在进行计算机视觉相关任务时，经常需要对图像进行投影变换。在相机标定中，我们需要确定相机内部的各种参数，
如相机矩阵 K、畸变系数等，以用于将相机坐标系中的点映射到图像平面上。本文将介绍标准针孔相机的内部参数和相机坐标系下给定点的投影计算方法。

## 1. 标准针孔相机简介

标准针孔相机是最简单的相机模型之一，它将光学系统简化为一个针孔，如下图所示。光线从场景中的点向针孔进入相机，
然后被投影到相机成像平面上。

![pinhole_camera_model](https://lh3.googleusercontent.com/pw/ACtC-3fU8ku6-1fBpE37ivZnHSv9XWbNMfqrQjKoJyCwv1LOIzKhFbswnDZhY08zbc0kkKXsZfTcTtztNlyeCHFAQRtJGK7VcYq3uG7fKjSqnSmS7gByRovi-hzzm7OQHx4Av4iNugYupATwaDW9QWzBPhvLS=w1024-h386-no?authuser=0)

标准针孔相机的优点在于其简单性和精度。与其他相机模型相比，它的计算量小，且具有较高的内在几何精度。
因此，在很多计算机视觉任务中，如立体匹配、三维重建等，都使用标准针孔相机来进行相机标定和投影变换。

## 2. 相机内部参数

标准针孔相机的内部参数如下：

- 焦距 f：表示相机成像平面到针孔的距离，单位为毫米。
- 光心 cx, cy：表示相机成像平面上的主点位置，通常情况下为图像中心，单位为像素。
- 像素尺寸：表示相机成像平面上一个像素的大小，单位为毫米/像素。

这些参数通常被组合成相机矩阵 K：$$ K = \begin{bmatrix} f & 0 & cx \\ 0 & f & cy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

## 3. 相机坐标系和像素坐标系

图像采集时，相机需要将三维实际场景转换为二维像素数据，这种转换称为投影变换。在标准针孔相机中，投影变换将相机坐标系中的三维点 $(X,Y,Z)$ 投影到像素坐标系中的二维点 $(u,v)$。

相机坐标系的原点位于针孔位置，X、Y、Z 分别沿着相机的右、下、前方向，如下图所示。

![camera_coordinate_system](https://lh3.googleusercontent.com/pw/ACtC-3f6psR1wLg4o4VQblhuygMa7zR56VTXAvf7SvspnlOpkqne3VxjkxHRlDIcVYFtPfBpGoWZ9PSsLbITDps53HwARnNOQTVGBGVmzqs_P_uYJpnvzZiWQ9dPB6OcG-SI_E767w-OO_JDLx8TE76UfY6N1A=w840-h526-no?authuser=0)

像素坐标系的原点位于图像左上角，u、v 分别为像素坐标系中的水平和竖直位置，如下图所示。

![image_coordinate_system](https://lh3.googleusercontent.com/pw/ACtC-3eDJnEwCGp6W8fvaOXVtMOKjJvFZbTfNgpmBub1sJBL58sEgMYtQ2xO4Jh4QD4lkzSkigZgR-bE0hJl-xu1NAbNq7goDaNt-7UYzjKbrYp7vzX9TJovsTACbbfKjgePENmuJt60Q4b4o4_b-zyeeJhHzHg=w840-h504-no?authuser=0)

## 4. 投影变换

对于给定的相机坐标系中的点 $(X,Y,Z)$，其在成像平面上的投影坐标 $(u,v)$ 如下所示：$$ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} $$

其中，$K$ 为相机矩阵，$(u,v)$ 为像素坐标系中的投影位置。

## 5. 结论

对于标准针孔相机，根据上面的公式，我们可以计算出任意给定相机坐标系中的三维点在成像平面上的像素坐标。在本题中，
我们需要计算无穷远点 $(1,1,1,0)$ 在图片中的投影位置，即：

$$ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f+cx \\ f+cy \\ 1 \end{bmatrix} $$

这里假设针孔位于相机坐标系原点，由于无穷远点在相机坐标系中的 $w=0$，因此通过投影矩阵计算得到的 $z$ 坐标为 1。
最终得到的像素坐标为 $(u,v) = (f+cx, f+cy)$。