两人访问N个城市的最优路径问题

在访问一组城市问题中，最短或最优路径一直是计算机科学的一个典型问题。在这个主题中，我们需要找出一个遍历给定城市集合并返回其出发点的路径，同时需要满足两个要求：第一，路径上的距离或成本是最小的；第二，这两个人不能在同一地点相遇。

这个问题可以被描述为一个旅行商问题（TSP）。TSP是一个优化问题，目的是在图的所有点之间找到最短路径。TSP被证明是NP难问题，这意味着在当前时间不能在多项式时间内解决。另外，两个人不相遇这个条件，使这个问题更加复杂。

算法

目前已经存在许多解决TSP问题的算法，但是确切的最优算法还是未知的。在本主题中，我们将使用以下优化算法：

1. Brute force：即枚举法，它可以找到最短路径，但是对于大规模的城市集合可能会计算非常久。

2. 贪心算法：按距离递增的顺序添加路径，但不能保证最短路径。

3. 动态规划算法：使用递归和记忆搜索来计算所有可能路径的成本。这解决了问题，但是有指数级增长的时间复杂度。

实现

在 python 中可以使用 itertools 库中的 permutations 函数生成所有可能的路径组合。此外，也可以使用 networkx 库来计算路径成本，这个库可以在下面链接中下载。在实现算法时需要注意，动态规划算法可能会发生栈溢出问题，这时候可以使用 Python sys 库的 setrecursionlimit 函数。

示例代码

import itertools
import networkx as nx
import sys

def calculate_cost(path, graph):
    cost = 0
    for i in range(len(path)-1):
        cost += graph[path[i]][path[i+1]]['weight']
    return cost

def find_shortest_path(graph, cities):
    min_cost = float('inf')
    shortest_path = []
    for path in itertools.permutations(cities):
        if path[0] != cities[0] or path[-1] != cities[-1]:
            continue
        cost = calculate_cost(path, graph)
        if cost < min_cost:
            min_cost = cost
            shortest_path = path
    return shortest_path, min_cost

def set_recursion_limit(limit):
    sys.setrecursionlimit(limit)

if __name__ == '__main__':
    cities = ['A', 'B', 'C', 'D']
    graph = nx.Graph()
    graph.add_weighted_edges_from([('A', 'B', 2), ('A', 'C', 3), ('A', 'D', 1), ('B', 'C', 4), ('B', 'D', 2), ('C', 'D', 5)])
    shortest_path, min_cost = find_shortest_path(graph, cities)
    print(f'Shortest path: {shortest_path}')
    print(f'Minimum cost: {min_cost}')

参考资料

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Travelling_salesman_problem
2. https://docs.python.org/3/library/itertools.html#itertools.permutations
3. https://networkx.github.io/download.html