索引对计数

数组中的索引对计数问题是一类经典问题，其定义为找到所有满足要求的索引对（i,j），使得这些索引处的元素的乘积等于索引的绝对差。在本文中，我们将讨论这个问题的解法和优化。

算法分析

算法一：暴力扫描（Brute Force）

我们可以使用两个嵌套的循环来扫描所有的索引对。然后，对每个索引对，计算乘积和绝对差，如果它们相等，则将计数器加一。

def count_pairs_brute_force(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if nums[i] * nums[j] == abs(i-j):
                count += 1
    return count

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度是 $O(1)$。

算法二：哈希表 (Hash Table)

我们可以使用一个哈希表，其中键是元素的值，而值是元素在数组中的索引。随后，对于每个索引 $i$，我们可以计算目标值 $nums[i] \cdot i - i$ 并查找哈希表中是否存在这个值。 如果存在，我们就可以增加计数器。最后，我们将索引和元素添加到哈希表中。

def count_pairs_hash_table(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    count = 0
    index_dict = {}
    for i in range(n):
        target = nums[i] * i - i
        if target in index_dict:
            for j in index_dict[target]:
                if nums[i] * nums[j] == abs(i-j):
                    count += 1
            index_dict[target].append(i)
        else:
            index_dict[target] = [i]
    return count

这个算法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是数组长度。

算法三：双指针 (Two Pointers)

由于元素的值都是正整数，我们可以使用双指针算法。具体来说，我们将左指针 $i$ 初始化为零，并从左到右扫描数组。右指针 $j$ 初始为 $i$，并随着左指针的移动而向右移动。我们使用一个变量 $prod$ 存储从左指针到右指针的元素的乘积，并计算绝对差 $abs(i-j)$。如果 $prod == abs(i-j)$，我们就可以增加计数器。如果 $prod > abs(i-j)$，我们就左移左指针。否则，我们就右移右指针。

def count_pairs_two_pointers(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    i, j = 0, 0
    prod = 1
    count = 0
    while i < n:
        while j < n and prod <= abs(i-j):
            if prod == abs(i-j) and nums[i] * nums[j] == prod:
                count += 1
            prod *= nums[j]
            j += 1
        if prod == abs(i-j) and nums[i] * nums[j-1] == prod:
            count += 1
        prod //= nums[i]
        i += 1
    return count

这个算法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度是 $O(1)$。

总结

我们介绍了用于索引对计数问题的三种算法：暴力扫描、哈希表和双指针。暴力扫描算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度是 $O(1)$。哈希表算法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度是 $O(n)$。双指针算法的时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度是 $O(1)$。我们还可以看到，算法的时间复杂度和空间复杂度之间的折衷是非常重要的。

另外，我们需要注意的是，在实现算法时，我们应该先思考如何有效地处理边界条件和特殊情况，这将有助于提高我们算法的正确性和可靠性。