我们首先应该了解脱钩的特征。我们知道，能量要高得多，以至于物质仅以电离粒子的形式存在。因此，在去耦和复合时期，能量必须下降以允许氢离子化。可以对去耦时的温度估计进行近似计算。

这已经执行如下-

首先，仅考虑基态氢的电离。

$$ hv \大约k_BT $$

$$ \因此T \ approx \ frac {hv} {k_B} $$

对于基态氢的电离， hν为13.6 eV， kB为玻尔兹曼常数8.61×10 ^-5 eV / K，显示温度为1.5×105开尔文。

这从本质上告诉我们，如果温度低于1.5×10 ⁵ K，则中性原子可以开始形成。

我们知道光子与重子的比率约为5×10 ¹⁰ 。因此，即使在光子数量减少的曲线图的尾部，仍将有足够的光子将氢原子电离。而且，电子和质子的复合不能保证基态氢原子。激发态需要较少的能量进行电离。因此，应根据情况进行有规律的统计分析，以获取准确的值。计算将温度设置为3000K左右。

为了说明起见，我们考虑将氢激发到第一激发态的情况。用于与能量超过ΔE，NT个(>ΔE)到光子NT个由下式给出的总数的光子数之比的一般表达式-

$$ \ frac {N_ \ gamma(> \ Delta E)} {N_ \ gamma} \ propto e ^ {\ frac {-\ Delta E} {kT}} $$

对于将氢激发到第一激发态的情况， ΔE为10.2eV。现在，如果我们考虑每个重子的能量至少大于10.2的至少1个光子的高度保守数(请记住该比率为5×10 ¹⁰ ，则可从等式3获得温度为4800 K(InsertedNγ(> ΔE)= Np)。

这是在第一激发态下产生大量中性氢原子的温度。电离温度要低得多。因此，我们获得了比1.5×10 ⁵ K更好的估计值，该估计值更接近于3000 K的接受值。

红移–温度关系

为了理解红移和温度之间的关系，我们采用以下两种方法，如下所述。

方法1

根据维恩定律，我们知道

$$ \ lambda_mT =常量$$

要将其与红移相关联，我们使用-

$$ 1 + z = \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} $$

由于$λ_oT_o=λ_eT(z)$，我们得到-

$$ T(z)= T_0 \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} = T_0(1 + z)$$

将T _o设置为当前值3K，我们可以获得给定红移的温度值。

方法2

就频率而言，我们知道-

$$ v_0 = \ frac {v_e} {1 + z} $$

$$ B_vdv = \ frac {2hv ^ 3} {c ^ 2} \ frac {dv} {e ^ {hv / kT} -1} $$

这告诉我们关于一个能量间隔的光子的净能量，而hν是单个光子的能量。因此，我们可以通过Bνdν/hν获得光子数。

如果存在$ n_ {νo} $美元，发出$ n_ {νe} $美元，我们得到-

$$ \ frac {n_ {v_e}} {n_ {v_0}} =(1 + z)^ 3 $$

简单来说，我们得到

$$ n_ {v_0} = \ frac {2v_c ^ 2} {c ^ 2} \ frac {dv_c} {e ^ {hv / kT} -1} \ frac {1} {(1 + z)^ 3} = \ frac {2v_0 ^ 2} {c ^ 2} \ frac {dv_c} {e ^ {hv / kT} -1} $$

这又使我们有了维恩定律，因此可以得出以下结论：

$$ T(z)= T_0 \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} = T_0(1 + z)$$

要记住的要点

• 早期的宇宙非常热，大约3000K。
• 当前的测量表明，宇宙的温度接近3K。
• 我们往回走得越远，温度成比例地增加。