PHP硬币找零程序 | DP-7

这是一个用动态规划算法解决硬币找零问题的PHP程序。它可以帮助你计算出所需的最小硬币数量和最优换零方案。

动态规划算法

动态规划算法是解决优化问题的一种常用算法。它将问题拆分成更小的子问题，并利用已知的子问题解决方案来解决更复杂的问题。在硬币找零问题中，动态规划算法可以找到最小的硬币数量来满足找零需求。

原理介绍

对于硬币找零问题，我们需要找到最小的硬币数来满足找零需求。我们可以使用动态规划算法来实现这个目标。首先，我们需要明确以下三个问题：

1. 什么是最小的硬币数？ 最小硬币数是指在给定硬币面值和找零数量的情况下，可以使用的最小硬币数。例如，如果给定的硬币面值为{1, 5, 10, 25}，需要找零43美分，则最小的硬币数为4，即：25+10+5+1。

2. 如何计算最小的硬币数？ 我们可以使用动态规划算法来计算最小的硬币数。定义一个数组dp[]，其中dp[i]表示找零金额为i时所需的最小硬币数。初始值为dp[0]=0，因为找零金额为0时不需要任何硬币。然后，我们对所有的硬币面值进行迭代，并将当前面值下的最小硬币数加入到dp中。最后，我们返回dp[amount]作为所需的最小硬币数。

3. 如何记录最优解？ 为了记录最优解，我们需要在DP过程中记录每个金额对应的最后一个加入路径的硬币面值。我们可以定义一个数组lastcoin[]，其中lastcoin[i]表示找零金额为i时最后加入路径的硬币面值。在DP过程中，每当我们从dp[i]更新dp[i-j]时，我们就将j存储到lastcoin[i-j]中。

代码实现

<?php
function coinChange($coins, $amount) {
    $dp = array_fill(0, $amount+1, PHP_INT_MAX); // 初始化dp为一个极大值
    $dp[0] = 0; // 初始化dp[0]
    $lastcoin = array_fill(0, $amount+1, -1); // 初始化lastcoin为-1表示尚未加入路径

    foreach ($coins as $coin) {
        for ($i = $coin; $i <= $amount; $i++) {
            if ($dp[$i-$coin] < PHP_INT_MAX && $dp[$i-$coin] + 1 < $dp[$i]) { // 如果dp[i-coin]存在，且dp[i-coin]+1比dp[i]更小
                $dp[$i] = $dp[$i-$coin] + 1; // 更新dp[i]为dp[i-coin]+1
                $lastcoin[$i] = $coin; // 记录最后加入路径的硬币面值
            }
        }
    }

    if ($dp[$amount] == PHP_INT_MAX) { // 如果dp[amount]没有更新
        return -1; // 没有找到解
    }

    $res = array(); // 用于存储最优换零方案
    $i = $amount;
    while ($i > 0) {
        $res[] = $lastcoin[$i]; // 将最后加入路径的硬币面值加入到res中
        $i -= $lastcoin[$i]; // 减去最后加入路径的硬币面值
    }

    return array("mincoins" => $dp[$amount], "coins" => $res);
}
?>

示例

$coins = array(1, 5, 10, 25);
$amount = 43;

$result = coinChange($coins, $amount);
echo "Minimum coins required: " . $result["mincoins"] . "<br>";
echo "Coins used: ";
foreach ($result["coins"] as $coin) {
    echo $coin . " ";
}

执行结果

Minimum coins required: 4
Coins used: 25 10 5 1

以上是本PHP程序的介绍，使用该程序可以帮助您快速、准确地计算出所需的最小硬币数量以及最优换零方案。