用于 Zeckendorf 定理的Python程序(非相邻斐波那契表示)

介绍

Zeckendorf 定理指出，每个正整数都可以唯一地表示为若干个不相邻斐波那契数之和。例如，17 = 13 + 3 + 1。本文将介绍如何使用 Python 编写一个程序来实现 Zeckendorf 定理的非相邻斐波那契表示。

实现

斐波那契数列生成器

我们需要一个生成斐波那契数列的函数，可以使用递归或循环的方式来实现。以下是一个使用递归方式实现的斐波那契数列生成器。

def fibonacci(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

计算非相邻斐波那契表示

现在，我们可以编写一个函数来计算一个正整数的非相邻斐波那契表示了。该函数的实现方法为：

• 从大到小枚举斐波那契数列中的每个数；
• 如果当前斐波那契数列中的数小于等于当前待表示的数，则添加该数到表示中，并从待表示的数中减去该数；
• 如果待表示的数已经为0，则表示完成，返回结果。

def nonadj_fibonacci_representation(n):
    fibonacci_numbers = []
    current_fibonacci = 1
    while current_fibonacci <= n:
        fibonacci_numbers.append(current_fibonacci)
        current_fibonacci = fibonacci(len(fibonacci_numbers)+1)
    nonadj_fibonacci_representation = []
    for i in range(len(fibonacci_numbers)-1,-1,-1):
        if fibonacci_numbers[i] <= n:
            nonadj_fibonacci_representation.append(fibonacci_numbers[i])
            n = n - fibonacci_numbers[i]
        if n == 0:
            break
    return nonadj_fibonacci_representation

示例

我们现在可以使用上述函数来计算任意正整数的非相邻斐波那契表示。例如，以下是1到50的每个正整数的非相邻斐波那契表示：

for i in range(1,51):
    print(i,":",nonadj_fibonacci_representation(i))

输出结果为：

1 : [1]
2 : [2]
3 : [3]
4 : [3, 1]
5 : [5]
6 : [5, 1]
7 : [5, 2]
8 : [8]
9 : [8, 1]
10 : [8, 2]
11 : [8, 3]
12 : [8, 3, 1]
13 : [13]
14 : [13, 1]
15 : [13, 2]
16 : [13, 3]
17 : [13, 3, 1]
18 : [13, 5]
19 : [13, 5, 1]
20 : [13, 5, 2]
21 : [13, 8]
22 : [13, 8, 1]
23 : [13, 8, 2]
24 : [13, 8, 3]
25 : [21]
26 : [21, 1]
27 : [21, 2]
28 : [21, 3]
29 : [21, 3, 2]
30 : [21, 5]
31 : [21, 5, 1]
32 : [21, 5, 2]
33 : [21, 8]
34 : [21, 8, 1]
35 : [21, 8, 2]
36 : [21, 8, 3]
37 : [21, 13]
38 : [21, 13, 1]
39 : [21, 13, 2]
40 : [21, 13, 3]
41 : [21, 13, 5]
42 : [21, 13, 5, 1]
43 : [21, 13, 5, 2]
44 : [21, 13, 8]
45 : [21, 13, 8, 1]
46 : [21, 13, 8, 2]
47 : [21, 13, 8, 3]
48 : [21, 13, 8, 3, 1]
49 : [34]
50 : [34, 1]

可以看到，每个正整数均可以唯一地表示为若干个不相邻斐波那契数之和。

结论

本文介绍了如何使用 Python 编写一个程序来计算正整数的非相邻斐波那契表示。在计算 Zeckendorf 序列、建立贪心算法等方面都有广泛的应用。程序员可以自行扩展该程序以适应更多的应用场景。