确定正常形式的问题

要解决此问题以识别正常形式，我们必须了解其对BCNF，3 NF和2NF的定义：

2NF的定义：任何非素数属性都不应部分依赖于候选键。也就是说，X→Y不应有部分依赖性。

3NF的定义：首先，它应该在2NF中，并且如果两组属性X和Y之间存在非平凡的依存关系，使得X→Y(即Y不是X的子集)，则

• X要么是超级键
• 或Y是主要属性。

BCNF的定义：首先，它应在3NF中，并且如果两组属性X和Y之间存在非平凡的依存关系，使得X→Y(即Y不是X的子集)，则

• X是超级键

注意：如果表位于BCNF中，则该表位于3NF，2NF和1NF中，类似地，如果表位于3NF中，则其位于2NF和1NF中。因此，我们可以说，如果表的格式为高标准格式，那么默认情况下，表的格式为低标准格式。

问题1：给定关系R(P，Q，R，S，T，U，V，W，X)和功能相关性集合FD = {PQ→R，QS→TU，PS→VW和P→X} ，确定给定的R是否为正常形式?

解决方案：让我们使用FD在R上构造一个箭头图以计算候选密钥。

从上面R上的箭头图中，我们可以看到属性PQS不受任何给定FD的确定，因此PQS将成为候选关键字的组成部分，即无论候选关键字是多少，候选关键字是多少将是候选密钥，但是全部将具有PQS强制属性。

让我们计算一下PQS的关闭时间

PQS + = PQRSTUXVW(来自我们之前研究的闭包方法)

由于PQS的闭包包含R的所有属性，因此PQS是候选关键字

从候选密钥的定义开始(候选密钥是一个超级密钥，没有适当的子集是一个超级密钥)

由于所有密钥都将PQS作为必不可少的部分，并且我们已经证明PQS是候选密钥，因此，PQS的任何超集都将是超级密钥，而不是候选密钥。

因此，将只有一个候选密钥PQS

由于R具有9个属性：-P，Q，R，S，T，U，V，W，X，并且候选键是PQS，因此，主属性(候选键的一部分)是PQ和S，而非主键属性是RTUVWX

给定FD为{PQ→R，QS→TU，PS→VW和P→X}，而超级密钥/候选密钥为PQS

注意：为解决此类问题，我们应用了逆向工程，即首先检查BCNF，如果不是，则检查3NF，如果不是，则检查2NF，依此类推。

• FD： PQ→R不满足BCNF的定义，因为PQ不是超级键，因此该表不在BCNF中(因为如果一个依赖项失败，则全部失败)，现在我们为3NF检查相同的FD。
• FD： PQ→R甚至不满足3NF的定义，因为PQ不是Super Key或R不是主要属性，因此表也不在3NF中(因为如果一个依赖项失败，则全部失败)，现在我们检查相同的FD对于2NF
• FD： PQ→R甚至不满足2NF的定义，因为PQ不是超级键，而R不是依赖于键的一部分的部分属性(部分依赖)，因此表也不在2NF中(因为如果一个依赖失败，全部失败)。

因此，根据以上三个语句，我们可以说表R(P，Q，R，S，T，U，V，W，X)仅在1NF中。

问题2：给定一个关系R(P，Q，R，S，T，U，V，W)和功能相关性集合FD = {PQ→R，P→ST，Q→U和U→VW}，确定给定R是哪种范式?

解决方案：让我们使用FD在R上构造一个箭头图以计算候选密钥。

从上面R上的箭头图中，我们可以看到属性PQ不是由给定FD所确定的，因此PQ将成为候选关键字的组成部分，即无论候选关键字是多少，候选关键字是多少将是候选密钥，但是全部将具有PQ强制属性。

让我们计算PQ的结束时间

PQ + = PQRSTUVW(根据我们之前研究的封闭方法)

由于PQ的闭包包含R的所有属性，因此PQ是候选键

从候选密钥的定义开始(候选密钥是一个超级密钥，没有适当的子集是一个超级密钥)

由于所有密钥都将PQ作为组成部分，并且我们已经证明PQ是候选密钥，因此，PQ的任何超集都将是超级密钥，而不是候选密钥。

因此，只有一个候选密钥PQ

由于R具有8个属性：-P，Q，R，S，T，U，V，W，候选键为PQ。因此，素数属性(候选关键字的一部分)是P和Q，而非素数属性是RSTUVW

给定FD为{PQ→R，P→ST，Q→U和U→VW}，而超级键/候选键为PQ

注意：为解决此类问题，我们应用了逆向工程，即首先检查BCNF，如果不是，则检查3NF，如果不是，则检查2NF，依此类推。

• FD： PQ→R满足BCNF的定义，因为PQ是超级密钥，因此无需检查它的其他范式，因为它满足最高的形式。现在，我们以反向工程的方式检查另一个依赖项。
• FD： P→ST不满足BCNF的定义，因为P不是超级键，因此表不在BCNF中(因为如果一个依赖项失败，则全部失败)，现在我们为3NF检查相同的FD。
• FD： P→ST甚至不满足3NF的定义，因为P不是Super Key或ST不是素数属性，因此表也不在3NF中(因为如果一个依赖项失败，则全部失败)，现在我们检查相同的FD对于2NF。
• FD： P→ST甚至不满足2NF的定义，因为P不是超级密钥，而ST不是依赖于密钥的一部分的主要属性(部分依赖)，因此表也不在2NF中(因为如果一个依赖失败，全部失败)。

因此，根据以上三个语句b，c和d，我们可以说表R(P，Q，R，S，T，U，V，W，)仅在1NF中。

问题3：给定关系R(P，Q，R，S，T，U)和功能相关性集合FD = {PQ→R，SR→PT，T→U}，确定给定的R是哪种范式?

解决方案：让我们使用FD在R上构造箭头图以计算候选键。

从上面R上的箭头图中，我们可以看到，属性QS不是由给定的FD所确定的，因此QS将成为候选关键字的组成部分，即无论候选关键字是多少，候选关键字是多少将是候选密钥，但都将具有QS强制属性。

让我们计算QS的结束时间

QS + = QS(来自我们之前研究的封闭方法)

由于闭包QS并不包含R的所有属性，因此QS不是候选键。

通过将QS与另一个属性组合在一起，我们发现PQS和RQS决定了R的所有属性，因此PQS和RQS是R的候选关键字。

由于R具有6个属性：-P，Q，R，S，T，U和候选键是PQS和RQS，因此，主要属性(候选键的一部分)是PQR和S，而非主要属性是TU

给定FD为{PQ→R，SR→PT，T→U}，而超级键/候选键为PQS和RQS

注意：为解决此类问题，我们应用了逆向工程，即首先检查BCNF，如果不是，则检查3NF，如果不是，则检查2NF，依此类推。

• FD： PQ→R不满足BCNF的定义，因为PQ不是超级键，因此表不在BCNF中(因为如果一个依赖项失败，则全部失败)，现在我们为3NF检查相同的FD
• FD： PQ→R满足3NF的定义，即使PQ不是超级键而是R属于属性，因此该表位于3NF，现在我们使用逆向工程过程检查其他FD。
• FD： SR→PT不满足3NF的定义，因为SR不是超级密钥，或者PT不是主要属性(因为P是主要属性，但组合应是主要属性)，因此表不在3NF中(因为如果有一个依赖性)失败，全部失败)。现在我们检查2FD的相同FD
• FD： SR→PT不满足2NF的定义，因为SR不是超级密钥，也不是PT，它不是主要属性(取决于部分密钥)(部分依赖)，因此表也不在2NF中(因为如果一个依赖关系失败，全部失败)。

因此，根据以上两个语句c和d，我们可以说表R(P，Q，R，S，T，U)仅在1NF中。

问题4：给定关系R(P，Q，R，S，T)和功能相关性集合FD = {QR→PST，S→Q}，确定给定的R为哪种范式?

解决方案：让我们使用FD在R上构造箭头图以计算候选键。

从R上的箭头图中，我们可以看到属性R不是由任何给定FD所确定的，因此R将成为候选关键字的组成部分，即无论候选关键字是多少，候选关键字是多少将为候选键，但全部具有R强制属性。

让我们计算R的闭包

R + = R(根据我们之前研究的封闭方法)

由于闭包R不包含R的所有属性，因此R不是候选键。

在将R与另一个属性组合时，我们发现RS和RQ决定了R的所有属性，因此RS和RQ是R的候选关键字。

由于R具有5个属性：-P，Q，R，S，T和候选关键字是RS和RQ，因此主要属性(候选关键字的一部分)是SQR，而非主要属性是TP

给定FD为{QR→PST，S→Q}，超级键/候选键为RS和RQ

注意：为解决此类问题，我们应用了逆向工程，即首先检查BCNF，如果不是，则检查3NF，如果不是，则检查2NF，依此类推。

• FD： QR→PST满足BCNF的定义，因为QR是超级键，我们检查其他FD中的BCNF
• FD： S→Q不满足BCNF的定义，因为S不是超级键，因此表不在BCNF中(因为如果一个依赖项失败，则全部失败)，现在我们为3NF检查相同的FD
• FD： S→Q满足3NF的定义，即使S不是超级键而是Q是主要属性，因此该表位于3NF中。

由于只有两个FD，其中一个(QR→PST)满足BCNF，而另一个(S→Q)满足3NF，因此最高范式为3NF R(P，Q，R，S，T)在3NF。

问题5：给定关系R(A，B，C)和功能依赖关系集FD = {A→B，B→C，并且C→A}，确定给定R处于哪种范式?

解决方案：让我们使用FD在R上构造箭头图以计算候选键。

从上面R上的箭头图中，我们可以看到所有属性都由给定FD的所有属性确定，因此我们将检查所有属性(即A，B和C)以查找候选键

让我们计算A的闭包

A + = ABC(根据我们之前研究的封闭方法)

由于闭包A包含R的所有属性，因此A是候选键。

让我们计算B的闭合

B + = BAC(根据我们之前研究的封闭方法)

由于闭包B包含R的所有属性，因此B是候选键。

让我们计算C的闭包

C + = CAB(根据我们之前研究的封闭方法)

由于闭包C包含R的所有属性，因此C是候选键。

因此，三个候选密钥为： AB和C

由于R具有3个属性：-AB和C，因此候选键是AB和C，因此，主属性(候选键的一部分)是ABC，而没有非主属性

给定FD为{A→B，B→C和C→A}，而超级键/候选键为AB和C

注意：为解决此类问题，我们应用了逆向工程，即首先检查BCNF，如果不是，则检查3NF，如果不是，则检查2NF，依此类推。

• FD： A→B满足BCNF的定义，因为A是超级密钥，我们检查其他FD是否存在BCNF
• FD： B→C满足BCNF的定义，因为B是超级密钥，我们检查其他FD是否存在BCNF
• FD： CàA满足BCNF的定义，因为C是超级密钥

由于只有三个FD且所有FD：{A→B，B→C和C→A}满足BCNF，因此最高范式为BCNF。

因此，R(A，B，C)在BCNF中。

结论：从以上三个示例中，我们可以得出结论，遵循以下步骤可以确定给定关系模式的正常形式。

步骤1：使用箭头图，然后使用R上的属性闭包，计算给定R的候选键，这样就可以从计算出的候选键中分离素数属性和非素数属性。

步骤2：在逆向工程过程中验证每个FD，即首先检查BCNF，如果不是，则检查3NF，如果不是，则检查2NF，依此类推。

步骤3：如果表格位于BCNF中，则该表格位于3NF，2NF和1NF中，类似地，如果表格位于3NF中，则其位于2NF和1NF中。因此，我们可以说，如果表的格式为高标准格式，那么默认情况下，表的格式为低标准格式。

步骤4：首先使用BCNF定义验证FD(首先应在3NF中，并且在两组属性X和Y之间是否存在非平凡的依存关系，使得X→Y(即，Y不是X的子集)那么X是超级键。

步骤5：如果有任何FD，则STEP 5失败(表示该表不在BCNF中)，然后使用3NF的定义验证FD和剩余FD(首先应在2NF中，并且两个之间是否存在非平凡的依赖关系)属性X和Y的集合，使得X→Y(即Y不是X的子集)，则X是超级键或Y是素数属性

步骤6：如果有任何FD，则STEP 6失败(表示该表不在BCNF中)，然后验证FD和具有2NF定义的剩余FD(没有非素数属性应部分依赖于表的键)。

STEP 7：如果有任何FD，则STEP 7失败(表示该表不在2NF中)，因此无需检查其1NF，因为默认情况下它在1NF中。

步骤8：如果所有FD都满足BCNF的定义，那么我们可以说给定R在BCNF中，如果任何FD对BCNF失败，并且FD和剩余FD对3NF都满足，那么我们说R在3NF中，如果有任何FD对于3NF失败，并且FD和剩余FD满足2NF，那么我们说R在2NF中，否则表在1NF中。