动态编程|高强度与低强度任务问题

什么是动态编程？

动态编程是一种将复杂问题分解成小问题，通过求解小问题的答案来解决整个问题的算法。动态编程的思想是将计算结果缓存起来，避免重复计算。动态编程算法通常采用自下而上的方式求解问题，通过已经解决的小问题得到大问题的解。

高强度与低强度任务问题

高强度与低强度任务问题是一个典型的动态编程问题。问题描述如下：

有一个任务列表，每个任务具有开始时间、结束时间和强度值。你需要选取一些任务，并在时间上不重叠，使得选取的任务强度值的累加值最大。问最大的强度值是多少？

这个问题可以通过动态编程算法来解决。首先，将任务列表按照结束时间排序。设 $f(i)$ 表示选取 $1 \sim i$ 个任务的最大强度值，那么我们有以下递推式：

$f(i) = \max{f(j) + s_i}$，其中 $j$ 是满足 $j < i$ 且 $e_j \le s_i$ 的最大的下标，$s_i$ 是第 $i$ 个任务的强度值。

最终的答案是 $\max{f(i)}$，其中 $i \in [1,n]$，$n$ 是任务数。

使用Python代码实现该算法如下：

def max_strength(tasks):
    n = len(tasks)
    tasks = sorted(tasks, key=lambda x: x[1])
    f = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        f[i] = tasks[i - 1][2]
        for j in range(i - 1, 0, -1):
            if tasks[j - 1][1] <= tasks[i - 1][0]:
                f[i] = max(f[i], f[j] + tasks[i - 1][2])
    return max(f)

其中，任务列表是一个数组，每个元素是一个三元组，表示一个任务的开始时间、结束时间和强度值。