二分查找（Binary Search）

二分查找又称二分法，是一种快速查找有序数组的算法。其基本思想是将目标值与数组中间的值进行比较，如果目标值小于中间值，则在数组的左半部分继续查找；如果目标值大于中间值，则在数组的右半部分继续查找。通过不断缩小查找范围，最终可以找到目标值。

算法实现

下面是一个基于递归的二分查找算法实现：

def binary_search(arr, low, high, target):
    if low <= high:
        mid = (low + high) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] > target:
            return binary_search(arr, low, mid - 1, target)
        else:
            return binary_search(arr, mid + 1, high, target)
    else:
        return -1

该算法接受一个有序数组 arr，以及目标值 target，并返回目标值在数组中的下标，如果目标值不在数组中，返回 -1。

算法首先计算数组的中间下标 mid，然后将目标值与 mid 对应的数组元素进行比较。如果目标值等于该元素，算法直接返回 mid；如果目标值比该元素小，算法在数组的左半部分继续查找；如果目标值比该元素大，算法在数组的右半部分继续查找。

算法使用递归实现，直到找到目标值或者查找范围缩小到空集。如果找到目标值，直接返回对应的下标；否则返回 -1。

算法分析

二分查找算法的时间复杂度为 $O(\log n)$，其中 $n$ 是数组的大小。算法的空间复杂度为 $O(\log n)$，因为每次递归调用都会消耗一些栈空间。如果实现为非递归形式，空间复杂度可以优化到 $O(1)$。

算法的关键是维护查找范围的上下界，每次查找可以将查找范围缩小为一半。因此，二分查找适用于已知数组是有序的情况下，对于无序数组无法应用。二分查找还需要数组支持随机访问，因此不适用于链表等不支持随机访问的数据结构。

总结

二分查找是一种快速查找有序数组的算法，时间复杂度为 $O(\log n)$。算法的核心思想是维护查找范围的上下界，通过不断缩小查找范围，最终可以找到目标值。二分查找适用于已知数组是有序的情况下，对于无序数组无法应用。