位置和位移矢量

向量是一个既有大小又有方向的量。向量允许我们描述同时具有方向和大小的量。例如，速度和位置。这些量可用于描述在平面中移动的粒子的运动和位置。所有的向量都遵循平行四边形加法和三角形法则。这些定律允许我们对向量进行算术运算。位置和位置变化（用位移表示）是使用这些概念来描述粒子运动的实体。让我们详细了解它们。

标量和向量

在物理学中，量根据向量和标量进行分类。它们之间的区别在于，具有方向及其大小的量称为向量。标量只是量级。在标量的情况下，加法、减法或乘法等算术运算的执行方式与实数相同。例如，值为 0.1 和 0.3 的两个标量之和为 0.4。这些规则不适用于向量。它们的加法和减法并不像标量那么简单。

下表显示了标量和向量的一些示例。

Scalar Quantities	Vector Quantities
Length	Velocity
Speed	Force
Mass	Weight
Density	Pressure
Energy	Acceleration

向量的加法和减法定律

两个向量不能通过通常的算术程序相加，因为向量包含方向。这些向量可以使用向量加法法则相加。对于两个向量 P 和 Q，它们的加法由向量 R 给出，

$\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$

如果两个向量之间的角度为θ，则合成向量的大小由下式给出，

R ² = |P| ² + |问| ² + 2|P||Q|cos(θ)

合成向量与向量 P 所成的角度由下式给出，

Θ = 棕褐色^-1 ( $\frac{|Q|}{|P|}$

向量乘以常数

向量与常数相乘不会改变其方向。相反，这种乘法用于缩放向量。如果常数乘以向量大于 1，则向量的长度会增加，而当常数小于 1 时，向量的长度会减少。

平面运动

当一个物体在平面中移动时，它会改变它的位置，因此必须定义可用于描述物体在平面中的位置的量。运动也需要方向。例如，假设一个物体正在移动，如下图所示。现在，要描述物体的位置，需要两件事——方向和与原点的距离。仅仅说物体距离原点 5 m 是不够的。

该物体将被描述为东北方向 5 m。因此，要表示对象的位置，需要一个向量。该向量称为位置向量。下图显示了物体在平面内运动的轨迹。设 P 和 P' 是对象在时间“ t ”和“ t' ”的位置。下图显示了相对于原点的位置 P 和 P'。

当点 P 和 P' 由一条以原点 O 为起点的直线连接时。线段 OP 和 OP' 表示位置矢量。向量 OP 用 r 表示，OP' 用 r' 表示。如果对象在时间“t”内从 P 移动到 P'。然后，位移由位置矢量的变化给出。表示位置矢量变化的矢量也称为位移矢量。

Note: The Displacement vector only depends upon the initial and final position vectors. If an object travels a path and comes back to the same initial position, in that case the displacement is considered to be zero. The figure above shows an object traveling along a large path and coming back to the same point. In this case, the displacement is zero. 

位移矢量的大小小于或等于粒子在其初始位置和最终位置之间行进的距离。

假设一个粒子沿着上图所示的路径从 A 点行进到 B 点。在这种情况下，位移由连接两点的线给出。因此，可以说两点之间的位移是这些点之间的最短距离。

示例问题

问题 1：假设 A = 4i + 3j 和 B = 5i + 4j。求这两个向量相加所得的向量。

回答：

Given: 

 A = 4i + 3j 

B = 5i + 4j.

The resultant of these two vectors is given by, 

$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$

Plugging the vectors into this equation, 

$\vec{R} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{i} + 4\hat{j} \\ = \vec{R} = 9\hat{i} + 7\hat{j}$

问题 2：假设 A = 5i + 5j 和 B = 3i + 3j。求这两个向量相加所得的向量。

回答：

Given: 

 A = 5i + 5j 

B = 3i + 3j.

The resultant of these two vectors is given by, 

$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$

Plugging the vectors into this equation, 

$\vec{R} = 5\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{i} + 3\hat{j} \\ = \vec{R} = 8\hat{i} + 8\hat{j}$

问题3：假设有两个向量A和B，其中|A| = 3 和 |B| = 4，它们之间的角度为 60°。求合成向量的大小和方向。

回答：

Given: 

 |A| = 3

|B| = 4.

θ = 60°

The resultant of these two vectors is given by, 

$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$

R² = |A|² + |B|² + 2|A||B|cos(θ)

The angle is given by, θ = tan^-1($\frac{|Q|}{|P|}$

Plugging the vectors into these equations, 

R² = |A|² + |B|² + 2|A||B|cos(θ)

⇒ R² = 3² + 4² + 2(3)(4)cos(60)

⇒ R² = 25 + 12

⇒ R² = 37 

⇒ R = √37

θ = tan^-1($\frac{|B|}{|A|}$

⇒ θ = tan^-1($\frac{4}{3}$

⇒ θ = 53°

问题4：假设有两个向量A和B，其中|A| = 24 和 |B| = 10，它们之间的角度由 90° 给出。求合成向量的大小和方向。

回答：

Given: 

 |A| = 24

|B| = 10.

θ = 90°

The resultant of these two vectors is given by, 

$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$

R² = |A|² + |B|² + 2|A||B|cos(θ)

The angle is given by, θ = tan^-1($\frac{|B|}{|A|}$

Plugging the vectors into these equations, 

R² = |A|² + |B|² + 2|A||B|cos(θ)

⇒ R² = 24²+ 10² + 2(24)(10)cos(90)

⇒ R² = 576 + 100

⇒ R² = 676

⇒ R = 26

θ = tan^-1($\frac{|B|}{|A|}$

⇒ θ = tan^-1($\frac{10}{24}$

问题 5：平面内运动的粒子的位置矢量由下式给出，

r = t ² i + 3tj

求 t = 1 和 t = 4 秒之间的位移。

回答：

Displacement only depends on the initial and final position of the particle. 

Given: 

r = t²i + 3tj

at t = 1 

r_i = i + 3j 

At t = 4 

r_f = 16i + 12j

Displacement between these position will be given by the difference of their position vectors. 

r = r_f – r_i

⇒r = 16i + 12j -(i + 3j) 

⇒ r = 15i + 9j 

问题 6：平面内运动的粒子的位置矢量由下式给出，

r = t ² i + 3tj

求 t = 1 和 t = 4 秒之间的位移。

回答：

Displacement only depends on the initial and final position of the particle. 

Given: 

r = t²i + 3tj

at t = 1 

r_i = i + 3j 

At t = 4 

r_f = 16i + 12j

Displacement between these position will be given by the difference of their position vectors. 

r = r_f – r_i

⇒r = 16i + 12j -(i + 3j) 

⇒ r = 15i + 9j