课程安排所需的最小大厅

在进行课程安排时，我们需要考虑到每个课程的时间、教室的容量，以及学生的选课情况。同时，我们需要确保所有的课程得到了分配，而且每个时间段只有一个课程安排在同一个教室进行。如何得到最小的大厅容量，以满足所有课程的安排呢？

题目描述

给定课程列表 courses，每个课程包括该课程的开始时间 start_time、结束时间 end_time，以及需要的教室容量 capacity。假设每个时间段只能有一个课程进行，而且每个课程只能在一个教室进行。请你计算出能够满足所有课程安排的最小教室容量。

实现思路

一种常见的解决方案是使用“贪心算法”。具体来说，我们可以按照课程的开始时间，将所有的课程排序。然后，使用一个堆（优先队列）来代表所有的教室，其中每个元素表示该教室的容量以及该教室占用的结束时间。对于每个课程，我们遍历所有的教室，找到可以容纳该课程、且占用时间最短的教室。如果没有这样的教室，我们就新建一个教室，将其加入堆中。在遍历完所有的课程后，我们所需要的大厅容量即为堆中元素的数量。

代码实现

import heapq

def min_classroom(courses):
    # 按照开始时间排序
    courses.sort(key=lambda x: x[0])
    # 使用堆来管理教室
    rooms = []
    for course in courses:
        if rooms and rooms[0][0] <= course[0]:
            # 找到最早空出的教室
            _, end_time = heapq.heappop(rooms)
            heapq.heappush(rooms, (course[1], end_time))
        else:
            # 新建教室
            heapq.heappush(rooms, (course[1], course[1]))
    # 堆中元素的数量即为需要的教室数
    return len(rooms)

复杂度分析

排序 $O(n \log n)$，遍历课程 $O(n)$，每个课程都需要在堆中进行插入和弹出操作，这个过程需要 $O(\log n)$ 的时间。因此，总时间复杂度为 $O(n \log n)$。空间复杂度为 $O(n)$，因为我们需要使用一个堆来代表所有的教室。