最大化从1到N的所有可能对的GCD

给定一个整数N (?2)，任务是通过范围为[1，N]的整数找到所有对中的最大GCD。

例子：

Input: N = 5 
Output: 2 
Explanation : 
GCD(1, 2) : 1 
GCD(1, 3) : 1 
GCD(1, 4) : 1 
GCD(1, 5) : 1 
GCD(2, 3) : 1 
GCD(2, 4) : 2 
GCD(2, 5) : 1 
GCD(3, 4) : 1 
GCD(3, 5) : 1 
GCD(4, 5) : 1

Input: N = 6 
Output: 3 
Explanation: GCD of pair (3, 6) is the maximum. 
 

天真的方法：
解决问题的最简单方法是从[1，N]生成所有可能的对，并计算每对的GCD 。最后，打印获得的最大GCD。
时间复杂度： O(N ² logN)
辅助空间： O(1)

高效方法：
请按照以下步骤解决问题：

• 由于所有对都是不同的，因此，对于任何具有GCD g的对{a，b} ， a或b都大于g 。
• 认为b是更大的数字， b? 2g ，因为2g是大于g的g的最小倍数。
• 由于b不能超过N ，所以2g? N．
• 因此， g? floor(n / 2) 。
• 因此，可以得到的最大GCD是地板(N / 2)，当对选定的是(地板(N / 2)，2 *地板(N / 2))。

Illustration: 
N = 6 
Maximum GCD = 6/2 = 3, occurs for the pair (3, 6) 
 

下面是上述方法的实现：

C++

// C++ Program to implement
// the approach
#include 
using namespace std;
 
// Function to obtain the maximum
// gcd of all pairs from 1 to n
void find(int n)
{
    // Print the answer
    cout << n / 2 << endl;
}
 
// Driver code
int main()
{
    int n = 5;
    // Function call
    find(n);
    return 0;
}

Java

// Java Program to implement
// the approach
class GFG{
   
// Function to obtain the maximum
// gcd of all pairs from 1 to n
static void find(int n)
{
    // Print the answer
    System.out.println(n / 2);
}
  
// Driver code
public static void main(String[] args)
{
    int n = 5;
    // Function call
    find(n);
}
}
 
// This code is contributed by Ritik Bansal

Python3

# Python3 program to implement
# the approach
 
# Function to obtain the maximum
# gcd of all pairs from 1 to n
def find(n):
 
    # Print the answer
    print(n // 2)
 
# Driver Code
if __name__ == '__main__':
 
    # Given n
    n = 5
 
    # Function call
    find(n)
 
# This code is contributed by Shivam Singh

C#

// C# Program to implement
// the approach
using System;
class GFG{
    
// Function to obtain the maximum
// gcd of all pairs from 1 to n
static void find(int n)
{
    // Print the answer
    Console.Write(n / 2);
}
   
// Driver code
public static void Main(string[] args)
{
    int n = 5;
    // Function call
    find(n);
}
}
  
// This code is contributed by rock_cool

Javascript

 
// Javascript program to implement
// the approach
 
// Function to obtain the maximum
// gcd of all pairs from 1 to n
function find(n)
{
     
    // Print the answer
    document.write(parseInt(n / 2, 10) + "</br>");
}
 
// Driver code
let n = 5;
 
// Function call
find(n);
 
// This code is contributed by divyeshrabadiya07
 

输出：

2

时间复杂度： O(1)
辅助空间： O(1)