问题描述

假设有一块 $n \times 4$ 的网格，现有 $1 \times 4$ 的瓷砖无限个，我们需要用这些瓷砖来覆盖整个网格，求有多少种不同的覆盖方法？

解题思路

对于这个问题，我们可以考虑使用动态规划来解决。

首先，我们可以将 $n \times 4$ 的网格划分成 $n$ 行，每一行有 $4$ 个格子。假设 $f[i][j]$ 表示上面 $i$ 行，第 $j$ 列到第 $4$ 列的瓷砖覆盖方案数。则对于每一个格子，有如下的转移方程：

$$ f[i][j] = \begin{cases} 1 & (i == 0 \land j == 4) \ f[i][j+1] + f[i][j+1] & (i == 0 \land 1 \le j < 4) \ f[i-1][j] & (i > 0 \land j == 4) \ f[i][j+1] + f[i][j+1] + f[i-1][j] & (i > 0 \land 1 \le j < 4) \ \end{cases} $$

其中，当 $i == 0$ 且 $j == 4$ 时，表示已经全部覆盖，只有一种覆盖方案；当 $i == 0$ 且 $1 \le j < 4$ 时，表示当前格子已经覆盖，转移到下一个格子；当 $i > 0$ 且 $j == 4$ 时，表示当前行已经全部覆盖，转移到下一行第一个格子；当 $i > 0$ 且 $1 \le j < 4$ 时，表示当前格子未覆盖，可以有竖着放或横着放两种方案，或者上一行已经覆盖，此时只能横着放。

最终，我们需要求的就是 $f[n][1]$ 的值，即最后一行的全部覆盖方案数。

代码实现

def calculate_ways(n: int) -> int:
    f = [[0] * 5 for _ in range(n+1)]
    f[0][4] = 1
    for i in range(n+1):
        for j in range(1, 5):
            if i == 0 and j < 4:
                f[i][j] = f[i][j+1] + f[i][j+1]
            elif i == 0 and j == 4:
                f[i][j] = 1
            elif j == 4:
                f[i][j] = f[i-1][1]
            else:
                f[i][j] = f[i][j+1] + f[i][j+1] + f[i-1][j]
    return f[n][1]

总结

本题使用动态规划可以较为简单地求解，时间复杂度为 $O(n)$。在实际应用中，也可以使用其他方法来求解，如递归、深度优先搜索等。