çompetitive P在AGC(CP)通常不需要知道高级别微积分或一些火箭科学。但是有些概念和技巧在大多数时候是足够的。您绝对可以在没有任何数学背景的情况下开始具有竞争力的编码。但是，随着您深入了解CP的世界，数学变得至关重要。您将遇到的大多数竞争编码问题都有一些数学逻辑或技巧。我们学习的所有算法都是从数学观点出发的。在大多数情况下，数学可以帮助我们在必要的时间限制内解决问题。
所有主题都无法在一篇文章中涵盖，但我们将研究竞争性编码中一些最常见的数学概念。这些概念中的一些乍一看可能看起来太困难了，但是将其应用于问题上会为您带来缓解。
还有一件事是，我只提到了您需要涵盖的内容以及实现此目的的一些技巧，但是您可以借助其他在线资源来学习和实践它们。
1. BigInteger
例如，计算大量的阶乘(假设为100)或接受大量输入，长度约为100000位数。在C++中，即使我们使用long long int，也无法存储这些数字。采取这种数字的一种方法是，更明智地使用vector来将它们放入数组中……每个数字都将包含数组的索引，例如如果数字为12345，则12345％10 = 5将位于index [4]中，并且该数字现在= 12345/10 = 1234。现在1234％10 = 4将在[3]中，依此类推，而1％10 = 1在[0]中，或者也可以使用字符串，这更容易，因为char数组每个索引只允许1个字节，因此您不需要那些调制操作就可以将数字放入索引中。
Java提供了Biginteger类来处理此问题。
2. GCD，LCM，欧几里得算法，扩展欧几里得算法
GCD和LCM的定义是众所周知的(并且在中学任教)，我将跳过这些定义。此外，由于lcm(a，b)* gcd(a，b)= a * b，因此计算GCD等效于计算LCM。
现在，我们如何计算两个数字的GCD?
我们当然可以找到两个数的因数，然后确定最高的公因数。但是随着数字的增加(例如155566328819)，分解就变得无效了。
这就是Euclid算法得以解决的地方。该算法使用易于证明的事实gcd(a，b)= gcd(b，r)，其中r是a除以b或a％b的余数。
int GCD(int A, int B)
{
if (B == 0)
return A;
else
return GCD(B, A % B);
}
我们可以找到ux + vy = gcd(u，v)这样的数字(x，y)吗?存在着无数对-这就是Bezout的引理。生成这种对的算法称为扩展欧几里得算法。
3. Eratosthenes筛和分段筛
快速生成素数在某些问题中非常重要。让我们开始追逐并介绍Eratosthenes的Sieve。您可以使用Eratosthenes筛子来查找所有小于或等于给定数字N的质数，或者找出数字是否为质数。
Eratosthenes筛网背后的基本思想是，在每次迭代中都会拾取一个质数并消除其所有倍数。消除过程完成后，所有剩余的未标记数字均为质数。假设我们要找到2到50之间的所有质数。从2到50进行迭代。我们从2开始。由于未选中它，所以它是一个质数。现在检查除2以外的所有倍数。现在，我们转到数字3。未选中，因此它是质数。现在检查除3以外的所有3的倍数。现在移至4。我们看到已选中–这是2的倍数！因此4不是素数。我们将继续这样做。
void sieve(int N)
{
bool isPrime[N + 1];
for (int i = 0; i& lt; = N; ++i) {
isPrime[i] = true;
}
isPrime[0] = false;
isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= N; ++i) {
// Mark all the multiples of i as composite numbers
if (isPrime[i] == true) {
for (int j = i * i; j <= N; j += i)
isPrime[j] = false;
}
}
}
如果数量很大(例如10 ^ 16)，该情况下我们需要分段筛。
分段筛的目的是将范围[0..n-1]划分为不同的段，并一一计算所有段中的质数。该算法首先使用“简单筛”来查找小于或等于?(n)的素数。以下是分段筛中使用的步骤。
1.使用简单筛子找到所有素数，直到’n’的平方根，并将这些素数存储在数组“ prime []”中。将找到的素数存储在数组’prime []’中。
2.我们需要在[0..n-1]范围内的所有素数。我们将此范围划分为不同的段，以使每个段的大小最大为?n
3.对每个片段[low..high]进行跟踪
•创建一个数组标记[high-low + 1]。在这里，我们只需要O(x)空间，其中x是给定范围内的元素数。
•遍历在步骤1中找到的所有素数。对于每个素数，在给定范围[low..high]中标记其倍数。
在简单筛中，我们需要O(n)空间，这对于大n可能不可行。在这里，我们需要O(?n)空间，并且一次处理较小的范围
4.模运算，模取幂和模逆
当一个数除以另一个时，取模运算将找到余数。用％符号表示。
例子
假设您有两个数字10和3。10％3为1，因为当10除以3时，余数为1。
特性
1.(a + b)％c =(a％c + b％c)％c
2.(a?b)％c =((a％c)?(b％c))％c
3.(a?b)％c =((a％c)?(b％c)+ c)％c
4.(a / b)％c =((a％c)?(d％c))％c
注意：在上面的最后一个属性中，d是b和c的乘法模逆。
这些属性何时使用?
假设a = 10 ^ 12，b = 10 ^ 12和c = 10 ^ 9 + 7。您必须找到(a?b)％c。将a乘以b时，答案为10 ^ 24，这与标准整数数据类型不符。因此，为避免这种情况，我们使用了属性。 (a?b)％c =((a％c)?(b％c))％c
快速取模
计算O(log b)中的模数m中的a ^ b，
它使用b的二进制扩展，非常简单。
ll expo(ll a, ll b, ll m)
{
if (b == 0)
return 1;
ll p = expo(a, b / 2, m) % m;
p = (p * p) % m;
return (b % 2 == 0) ? p : (a * p) % m;
}
现在，让我们谈谈模块化逆。
通过使用扩展欧几里得算法，我们可以获得模m的逆。
// Returns modulo inverse of a with respect
// to m using extended Euclid Algorithm
// Assumption: a and m are coprimes, i.e.,
// gcd(a, m) = 1
int modInverse(int a, int m)
{
int m0 = m;
int y = 0, x = 1;
if (m == 1)
return 0;
while (a > 1)
{
// q is quotient
int q = a / m;
int t = m;
// m is remainder now, process same as
// Euclid's algo
m = a % m, a = t;
t = y;
// Update y and x
y = x - q * y;
x = t;
}
// Make x positive
if (x < 0)
x += m0;
return x;
}
如果gcd(a，p)= 1，则费马小定理给出a ^(p-1)== a(mod p)，其中p是素数。因此，我们也可以通过快速求幂来将a的模逆计算为a ^(p-2)。
5.卢卡斯定理
使用卢卡斯定理，我们可以非常快速地以模p(p为素数)计算nCr。卢卡斯定理基本上表明，可以通过将n(i)Cr(i)的结果相乘来计算nCr的值，其中n(i)和r(i)分别是n和r的基数p表示中的单个相同位置的数字。当p小而n，r大时，这是非常有效的。通过使用上面的代码，我们可以预先计算出模p的阶乘和阶乘逆。
6.中国剩余定理<
如果两个数字(正整数)a和b没有相对质数，则它们是相对质数(互质)。如果该集合中的任何两个不同的数字都是相对质数，则数字m1，m2，…. mr是成对的相对质数。中国余数定理说，给定r对的相对质数m1，m2，…. mr，以及任何数b1，b2，b3，..br，我们总能找到一个M留下余数b1，b2，b3 ，..br分别除以m1，m2和…mr。
让我们求解x == r(mod mi)，其中mi是成对的互质。
(如果它们不是互质的，则将它们分解为主要力量，如果其中一些相互矛盾，则没有解决方案。)
7.系列和序列
您只需要了解一些基本知识，例如：
•什么是级数，它收敛到某个值吗?
•了解著名的系列，例如三角函数，双曲线等
•如何计算著名序列(例如几何序列，谐波序列)的有限极限
而且序列的基本相同，您只需要了解基础知识即可。
(技巧：使用OEIS网站)
我们有时会遇到这样的情况，即可以将各种编码问题简化为一个数学公式，但经常发现该公式并不是那么简单。我们可以计算初始索引的项，即n = 0、1、2、3，……..然后可以使用OEIS查找数学表达式。
8.加泰罗尼亚语数字
加泰罗尼亚语数字是自然数列，可帮助解决许多计数问题。以n = 0开头的项是：1、1、2、5、14、42、132、429、1430…等等。
基于加泰罗尼亚语数字的问题可能会出现在许多编码竞赛中。因此，深入了解加泰罗尼亚数字始终是一个加分点。
加泰罗尼亚语数字在形成组合问题的封闭解决方案中有广泛的应用。一些示例是：
1.可以使用“ n”个节点形成的二叉搜索树的数量为第n个加泰罗尼亚语编号。
2.通过连接任意2个边可以将n + 2边的凸多边形切成2个或更多三角形的方式的数量为第n个加泰罗尼亚数。
3.对于给定的“ n”对，匹配可能的括号数量的封闭式解决方案是第n个加泰罗尼亚数。
9.鸽洞原理
鸽洞原理是组合数学中使用的强大工具。但是这个想法很简单，可以通过以下特殊问题来解释。想象一下，需要将3羽鸽子放入2个鸽子洞中。能做到吗答案是肯定的，但是有一个陷阱。要注意的是，无论如何放置鸽子，其中一个鸽子洞都必须容纳不止一只鸽子。
逻辑可以推广为更大的数字。信鸽原理指出，如果将n羽以上的鸽子放进n个信鸽的孔中，则某些信鸽必须包含一个以上的信鸽。虽然原理很明显，但其含义令人震惊。
例如，考虑以下语句：“如果从整数1到8中选择五个数字，则其中两个必须加起来等于9。”
说明：每个数字都可以与另一个数字配对，总计为9。总共有四个这样的对：数字1和8、2和7、3和6，最后是4和5。五个数字中的每个数字都属于这四对之一。根据信鸽原则，其中两个数字必须来自同一对，根据构造，这些数字之和为9。
10.包含排除原则
包含排除原则是一个非常基本的计数定理，各种编程竞赛中的许多问题都基于此定理，包含排除原则的正式解释如下：
将A视为对象的集合，| A |作为A中对象的数量，对于B类似，则集合A和B的对象集合的基数(当A和B都不相交时)可以表示为(对于2个有限集合)：
| AUB | = | A | + | B |
但是，如果集合不是不相交的，该怎么办?
然后，我们需要在计算A和B的基数时减去两次计数的公共对象，新形式将变为：
| AUB | = | A | + | B | – | A∩B |
这是包含-排除原理的最基本形式。
但是有2套以上，比如说n套。
然后可以这样表示：
(包含=添加，排除=减去)
| A1 U A2 U A3…..U AN | =(包括每个集合的数量，排除成对集合的数量，包括三元组的数量，排除四元组的数量……直到第n个元组被包含(如果是奇数)或被排除(如果是偶数))
即| A1 U A2 U A3…..U AN | =(| A1 | + | A2 | + | A3 | + | A4 |…+ | AN |)–(| A1∩A2 | + | A1∩A3 | + | A1∩A4 | .. +所有组合)+( | A1∩A2∩A3 |…所有组合)………。等等。
该列表并不详尽，但是这些概念在Codeforce，Codechef等竞赛中将非常有用。因此，请握紧笔，纸和笔记本电脑，然后开始练习。
祝您编码愉快！