概述

本文介绍的主题是关于数组元素的计数大于其左侧的所有元素且其右侧至少有 K 个元素的问题，在算法竞赛中经常会遇到这类问题，需要程序员们掌握解决方法。

问题描述

在一个长度为 N 的数组中，找到满足如下条件的所有元素：

• 其计数大于其左侧所有元素的计数
• 其右侧至少有 K 个元素

解决方法

暴力枚举

暴力枚举的思路非常简单，对于所有元素，分别计算其左侧所有元素的计数，然后通过循环遍历其右侧的 K 个元素即可。时间复杂度为 O(NK)。

def count_elements(arr, k):
    res = []
    for i in range(N):
        count_left = sum([arr[i] > arr[j] for j in range(i)])
        count_right = sum([arr[i]>arr[j] for j in range(i+1, N)][:k])
        if count_left < count_right:
            res.append(arr[i])
    return res

但这种方法的时间复杂度太高，在大规模数据下会超时。

前缀和

可以使用前缀和来优化上面的思路。对于每个元素，同时计算其左侧所有元素的计数和右侧 K 个元素中小于它的元素个数即可。时间复杂度为 O(N)。

def count_elements(arr, k):
    count = [0] * N
    res = []
    for i in range(1, N):
        count[i] = sum([arr[i] > arr[j] for j in range(i)])
    for i in range(N-k):
        if count[i] < count[N-1]-count[i+k]:
            res.append(arr[i])
    return res

虽然时间复杂度是线性的，但需要使用额外的空间来存储前缀和数组，空间复杂度为 O(N)。

单调栈

单调栈是解决此类问题的最佳选择。可以使用两个单调栈，存储单调递增的元素下标和单调递减的元素下标，然后对于每个元素，从两个栈中找到大于它的最小值和小于它的最大值，通过比较它们的数量即可。时间复杂度为 O(N)。

def count_elements(arr, k):
    increasing_stack = []
    decreasing_stack = []
    res = []
    for i in range(N):
        while increasing_stack and arr[increasing_stack[-1]] <= arr[i]:
            increasing_stack.pop()
        while decreasing_stack and arr[decreasing_stack[-1]] >= arr[i]:
            decreasing_stack.pop()
        increasing_count = len(increasing_stack) - bisect_left(increasing_stack, N-k-i)
        decreasing_count = len(decreasing_stack) - bisect_left(decreasing_stack, N-i)
        if increasing_count > decreasing_count:
            res.append(arr[i])
        increasing_stack.append(i)
        decreasing_stack.append(i)
    return res

此方法需要使用 Python 内置的 bisect 模块中的 bisect_left 函数，来实现对单调栈中元素个数的计算，时间复杂度为 O(log N)，但其实际上对于大规模数据下的运行时间影响较小。

总结

本文介绍了三种解决数组元素计数问题的方法，包括暴力枚举、前缀和和单调栈。其中，使用单调栈是最优解，时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(1)。程序员们可以根据实际情况选择合适的方法。