计算回文数

我们需要编写一个程序来计算所有的回文数，其中每个回文数的平方也是一个回文数。下面是我们的具体算法思路：

1. 首先，我们考虑整数 $n$ 的平方的位数的上限。设 $n$ 有 $k$ 位，则 $n<10^k$，从而 $n^2<10^{2k}$。根据乘法的规则，$n^2$ 至多有 $2k$ 位。因此，我们只需考虑 $k \leq 5$ 的情况。

2. 对于每个位数 $k$，我们枚举所有 $k$ 位的回文数。由于回文数关于中心轴对称，我们只需考虑前一半。如果 $k$ 是奇数，则中心轴上有一个数字；如果 $k$ 是偶数，则中心轴上没有数字。

3. 对于每个回文数 $n$，我们计算它的平方并判断是否也是回文数。我们可以将 $n$ 和 $n^2$ 转换成字符串，并逐位进行比较。

下面是 Python 代码的实现：

def is_palindrome(n):
    s = str(n)
    return s == s[::-1]

for k in range(1, 6):
    # 枚举长度为 k 的回文数
    for half in range(10 ** ((k - 1) // 2), 10 ** ((k + 1) // 2)):
        if k % 2 == 0:
            n = int(str(half) + str(half)[::-1])
        else:
            n = int(str(half) + str(half)[:-1][::-1])
        if is_palindrome(n ** 2):
            print(n, n ** 2)

该算法的时间复杂度为 $O(10^{10})$，因为我们只考虑了长度 $k \leq 5$ 的回文数。如果要考虑长一些的回文数，则需要使用更高效的算法。