数字总和等于给定总和的 n 位数字的计数

这道题目可以被认为是一个经典的组合问题，需要我们求出给定总和的n个数字所有可能的组合。

以下是一个使用递归方式求解的示例代码：

def digit_sum_count(sum, n, prefix=[]):
    # 如果n为1，直接返回数字的总和是否等于给定总和
    if n == 1:
        return [prefix + [sum]] if sum <= 9 else []
    
    res = []
    # 从0到9进行递归，每次减去i，继续递归
    for i in range(0, min(sum+1, 10)):
        res += digit_sum_count(sum-i, n-1, prefix+[i])
    
    return res

使用上述递归代码我们可以很容易地得到所有数字总和等于给定总和的n位数字组合。

为了优化算法性能，我们可以使用动态规划（DP）优化，将已经计算过的中间结果缓存起来，避免重复计算。

以下是一个使用DP方式的示例：

def digit_sum_count_dp(sum, n):
    dp = [[0] * (sum+1) for _ in range(n+1)]
    
    # 初始化DP数组
    for i in range(0, 10):
        if i <= sum:
            dp[1][i] = 1
    
    # 计算DP数组
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(0, sum+1):
            for k in range(0, min(j+1, 10)):
                dp[i][j] += dp[i-1][j-k]
    
    return dp[n][sum]

以上是两个常见的解题方法，我们可以根据具体的需求和输入数据大小选择其中一个进行实现。

时间复杂度

使用递归方式解题，时间复杂度为O(10^n), n为数字位数。

使用DP方式解题，时间复杂度为O(n*sum^2)，sum为数字总和，n为数字位数。

空间复杂度

使用递归方式解题，空间复杂度为O(n)， n为数字位数。

使用DP方式解题，空间复杂度为O(n*sum)，sum为数字总和，n为数字位数。