以每对之和为素数的最大子集

简介

给定一个整数数组，我们定义一个子集其中每个元素对之和是素数。例如，如果给定集合为[1,2,3,4]，那么最大子集是[1,2,4]，因为[1,4]、[2,3]和[1,3]之和都不是素数，并且[1,2,3]的和为6，不是素数。

本文将介绍这个问题的解决方案和实现细节。

解决方案

构建图

首先，我们可以将数组中的元素看作节点，并连接所有节点对（符合条件的节点对）。

具体地，我们可以遍历每一对节点并检查它们之和是否为素数。如果是，我们就在这些节点之间添加一条边。这样，我们就得到了一个无向图，图中每个节点代表数组中的一个值，每个边代表两个值的和为素数。

最大团算法

然后，我们可以使用最大团算法来解决这个问题。最大团指的是一个完全子图中的节点数量最大的团。在我们的问题中，每个团都代表一个满足条件的子集。

具体地，我们可以使用 Bron–Kerbosch 算法，一个经典的回溯算法，来查找最大团。回溯算法可以枚举所有可能的团，因此在最坏情况下的运行时间为指数级。

优化

由于 Bron–Kerbosch 算法的运行时间很长，并且对于任何团中的两个节点，要么它们是邻居，要么它们是孤立节点（即没有边连接它们），因此，我们可以采用类似于双色法的策略来排除无用的节点和边。

具体地，我们从任意节点开始并将其标记为“已选择”的分组，并且将其所有邻居标记为“已排除”的分组。然后，我们在未标记的节点中选择一个邻居最少的节点，并将其标记为“已选择”的分组。然后，我们继续这个过程，直到所有节点都被标记。

这种策略会使回溯算法更快，并且可以减少 Bron–Kerbosch 算法的运行时间。

实现细节

构建图

我们可以用二维数组 adj 来表示图，其中 adj[i][j] 表示节点 i 和节点 j 之间是否存在一条边（值为 1 表示存在，0 表示不存在）。

经过遍历数组并连接符合条件的节点对后，我们将其添加到 adj 中。

from typing import List

def build_graph(nums: List[int]) -> List[List[int]]:
    # 构建二维数组
    adj = [[0] * len(nums) for _ in range(len(nums))]
    # 遍历每一对节点并检查它们之和是否为素数
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i + 1, len(nums)):
            if is_prime(nums[i] + nums[j]):
                # 添加一条边
                adj[i][j] = 1
                adj[j][i] = 1
    return adj
    
def is_prime(num: int) -> bool:
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

最大团算法

我们可以使用回溯算法，并借助优化策略来查找最大团。

def maximum_clique(adj: List[List[int]]) -> List[int]:
    # 初始化节点集合和已选节点集合为空
    nodes = set(range(len(adj)))
    max_clique = []
    
    def backtrack(selected: List[int], excluded: List[int]) -> None:
        nonlocal max_clique
        # 如果当前已选节点集合为空，则结束回溯
        if not selected:
            return
        # 获取未被选择的节点
        available = nodes - set(selected) - set(excluded)
        # 如果可用节点集合为空，则更新最大团
        if not available:
            if len(selected) > len(max_clique):
                max_clique = selected.copy()
            return
        # 根据优化策略选择节点
        pivot = min(available, key=lambda x: sum(adj[x][j] for j in available))
        for i in available - set(v for v in adj[pivot] if v in available):
            # 将节点 i 标记为已选择，并将与 i 相邻的节点标记为已排除
            backtrack(selected + [i], excluded + [v for v in available if adj[i][v]])
    
    # 开始回溯
    backtrack([], [])
    return max_clique

总结

本文介绍了以每对之和为素数的最大子集的解决方案和实现细节。首先，我们构建了一个无向图，然后使用最大团算法和优化策略来查找最大团，即最大子集。总体来说，这是一个经典的组合优化问题，具有重要的理论和应用意义。