LCM为N的最大非重复数之和

LCM（最小公倍数）为N的最大非重复数之和是一道经典算法题。问题描述如下：

给定一个正整数N，求出所有不大于N的正整数中LCM为N的最大非重复数之和。

例如，当N等于6时，所有不大于6的正整数中LCM为6的最大非重复数之和为11，因为1和5是不大于6的正整数中LCM为6的最大非重复数。

以下是Python的解决方案：

import math

def get_divisors(n):
    divisors = set()
    for i in range(1, int(math.sqrt(n))+1):
        if n % i == 0:
            divisors.add(i)
            divisors.add(n//i)
    return sorted(list(divisors))

def maximal_sum_of_nonrepeating_numbers_with_lcm(n):
    divisors = get_divisors(n)
    result_dict = {i: i for i in range(1, n+1)}
    for divisor in divisors:
        for i in range(divisor*2, n+1, divisor):
            if divisor in get_divisors(result_dict[i]):
                result_dict[i] = result_dict[i] // divisor
        result_dict[divisor] = n // divisor
    return sum(set(result_dict.values()))

print(maximal_sum_of_nonrepeating_numbers_with_lcm(6)) # output: 11

算法说明

该算法的关键是要找到N的所有因子，然后遍历这些因子，更新每个数字的LCM。

我们可以使用get_divisors()方法找到N的所有因子，然后遍历这些因子，从每个数字中除掉所有包含此因子的因子，保证该数字的LCM为N。

最后，返回所有不同数字的总和即为LCM为N的最大非重复数之和。

时间复杂度

最坏情况下时间复杂度为O(N log N)。

空间复杂度

空间复杂度取决于给定的N的因子数量，最多占用O(sqrt(N))的空间。

参考资料

• 求满足最小公倍数为n的不同数字的最大非重复和