计算覆盖距离的方法数

计算覆盖距离的方法数是一个经典的问题。给定平面上的 $n$ 个点，每个点可以使用一个圆覆盖。求覆盖距离（任意两个圆心的距离）的方法数。

解法一

我们可以枚举任意两个圆心之间的距离，然后检查该距离是否小于等于 $2r$，其中 $r$ 是圆的半径。这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度是 $O(1)$。

def count_cover_distance(points, r):
    count = 0
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i+1, len(points)):
            dx = points[i][0] - points[j][0]
            dy = points[i][1] - points[j][1]
            if dx*dx + dy*dy <= (2*r)**2:
                count += 1
    return count

解法二

我们可以对所有点按横坐标进行排序，然后从左到右扫描每个点。对于每个点，我们只需要考虑它右侧 $l$ 个点和它左侧 $r$ 个点。因为其他点到当前点的距离已经在之前被计算了。

对于固定的 $l$ 和 $r$，假设有 $L$ 个点在左侧，$R$ 个点在右侧。那么对于任意的 $l \le L$ 和 $r \le R$，我们可以算出有多少种覆盖方案：

$$ C(L,l)\times C(R,r) $$

其中，$C(n,m)$ 表示从 $n$ 个元素中选取 $m$ 个元素的组合数。我们可以通过预处理组合数即可实现 $O(1)$ 的查询。

算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度是 $O(n^2)$。

def count_cover_distance(points, r):
    points.sort()
    count = 0
    for i in range(len(points)):
        L = R = 0
        for j in range(i-1, -1, -1):
            dx = points[i][0] - points[j][0]
            dy = points[i][1] - points[j][1]
            if dx*dx + dy*dy > (2*r)**2:
                break
            L += 1
        for j in range(i+1, len(points)):
            dx = points[i][0] - points[j][0]
            dy = points[i][1] - points[j][1]
            if dx*dx + dy*dy > (2*r)**2:
                break
            R += 1
        count += comb(L+R, L) * comb(L+R, R)
    return count

def comb(n, m):
    if m > n:
        return 0
    res = 1
    for i in range(m):
        res *= n - i
        res //= i + 1
    return res

结束语

以上是两种计算覆盖距离的方法数的解法。第一种解法比较朴素，时间复杂度比较高。第二种解法在时间复杂度上有所提升，但空间复杂度也相应地增加了。在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的解法。