检查删除非相邻元素的子序列是否使数组排序

在进行算法优化时，很常见的一种情况就是通过删除数组中的一些元素，来使原数组有一定的排列效果。在这个主题中，我们将讨论如何检查删除非相邻元素的子序列是否能够使一个没有排序的数组进行排序。

问题描述

给定一个长度为 n 的未排序数组 a，你可以在其中选择任意个非相邻元素构成一个新的数组 b，删除这个新数组 b 中的元素后，原数组 a 变为排序数组，求是否存在这样一种选择方案。

解决方法

方法一：暴力法

暴力枚举所有可能的子序列，检查它们是否能组成一个有序序列。这种方法需要枚举所有可能的子序列，时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

方法二：动态规划

设dp[i]表示在前i个数中选取一个非相邻子序列能否使得前i个数有序，那么状态转移方程如下：

dp[i] = dp[i-1] || dp[i-2] + a[i] >= a[i-1]

解释一下：当我们第一次选取一个数时，由于此时这个数是排好序的，所以 dp[1] = true。当我们第二次选取数时，如果选了这个数，那么 dp[2] = false；否则，选取的数只有一个，也是排好序的，所以 dp[2] = true。当我们第三次选取数时，有两种选法：选取第三个数，此时 dp[3] = dp[2]；不选取第三个数，那么就必须选取第一个和第二个数中的一个，此时 dp[3] = dp[1] + a[3] >= a[2]。通过这样的状态转移方程，我们可以推出整个数组的dp值，并判断是否存在一种非相邻子序列，使得删除后可以得到一个有序数组。

时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

代码实现

方法一

def is_sortable(a):
    n = len(a)
    for i in range(1, n):
        for j in range(0, i - 1):
            if all([k not in range(j + 1, i) for k in range(n)]):
                if sorted(a[j:i + 1]) == a[j:i + 1]:
                    return True
    return False

方法二

def is_sortable(a):
    n = len(a)
    dp = [False] * (n + 1)
    dp[1] = True
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] or dp[i - 2] and a[i - 2] >= a[i - 1]
    return dp[n]

总结

本题可以通过动态规划的方法来解决，时间复杂度为O(n)，比起暴力枚举来说有很大优化。同时，通过动态规划的方法，我们可以获取更多有关该问题的解法和相关信息。

在实际编程中，我们可以根据具体的情况来选择使用暴力枚举还是动态规划的方法。