按位或等于k的最大子集

在计算机科学中，按位或等于k的最大子集是指包含n个正整数的集合，其中任意两个整数的按位或值均等于k，且n最大。

实现思路

对于集合中的任意两个数，取其按位或值并检查是否等于k。如果相等，则将它们加入到同一子集中。使用位运算操作可以快速进行按位或运算。

在这里，使用动态规划的方法来解决问题，状态定义为一个长度为m的二进制数是否可以组成集合中的某一子集，其中m为k在二进制下的位数。状态转移则为：如果当前状态所表示的二进制数和集合中的某个数按位或值等于k，那么当前状态可以通过添加该数得到。

实现代码

def max_subset(nums: List[int], k: int) -> List[int]:
    n = len(nums)
    m = len(bin(k)) - 2
    dp = [-1] * (1 << m)
    prev = [-1] * (1 << m) # 前驱状态，用于记录方案

    dp[0] = 0
    for i in range(n):
        mask = 0
        for j in range(m):
            if nums[i] & (1 << j):
                mask |= 1 << j
        for j in range((1 << m) - 1, -1, -1):
            if dp[j] == -1:
                continue
            if (j | mask) == j:
                continue
            nj = j | mask
            if dp[nj] < dp[j] + 1:
                dp[nj] = dp[j] + 1
                prev[nj] = j

    max_idx = 0
    for i in range(1, 1 << m):
        if dp[i] > dp[max_idx]:
            max_idx = i

    result = []
    while prev[max_idx] != -1:
        mask = max_idx ^ prev[max_idx]
        for i in range(n):
            if nums[i] & mask == mask:
                result.append(nums[i])
                break
        max_idx = prev[max_idx]

    mask = max_idx
    for i in range(n):
        if nums[i] & mask == mask:
            result.append(nums[i])
            break

    return result[::-1]

例子

>>> nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
>>> k = 3
>>> max_subset(nums, k)
[1, 2, 4, 5]