如何找到第 N 个素数？

在计算机科学中，一个素数（质数）指的是只能被1和自身整除的正整数。素数一直是计算机科学研究的热点之一，因为他们在很多加密算法中扮演重要的角色。本文将介绍如何使用不同的算法在计算机程序中找到第N个素数。

筛选法

这是最简单、最常用的一种算法，又称为埃氏筛法。它的基本思想是从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。

def sieve_of_eratosthenes(n):
    """
    Finds the nth prime using the sieve of Eratosthenes algorithm
    """
    sieve = [True] * (n * 10)  
    sieve[0] = False  
    sieve[1] = False  
    p = 2
    while n > 0:
        if sieve[p]:
            n -= 1
            for i in range(p ** 2, len(sieve), p):
                sieve[i] = False
        p += 1
    return p - 1

这个算法的时间复杂度约为O(n * log(log(n)))。但是，当需要计算非常大的素数时，可能会导致内存不足问题，因为它需要构建一个巨大的布尔数组。

米勒-拉宾素数测试法

米勒-拉宾素数测试法是一种判断一个大数n是否是素数的概率算法。它的基本思路是，对于小于n的每个可能的素数，我们对n进行一定次数的测试，如果测试失败，那么我们可以确定n不是素数。虽然它并不能保证100%的准确性，但是对于大多数情况下，它都是很准确的。这个算法的时间复杂度为O(k * log(n)^3)。

import random
def miller_rabin_primality_test(n, k=5):
    """
    Test if n is prime using Miller-Rabin's probabilistic algorithm.
    """
    if n==2 or n==3:
        return True
    elif n==1 or (n & 1)==0:
        return False
    else:
        # write (n - 1) as 2**r * d
        r = 0
        d = n - 1
        while d % 2 == 0:
            r += 1
            d //= 2

        # Perform the test k times
        for _ in range(k):
            a = random.randint(2, n - 1)
            x = pow(a, d, n)
            if x == 1 or x == n - 1:
                continue
            for _ in range(r - 1):
                x = pow(x, 2, n)
                if x == n - 1:
                    break
            else:
                return False
        return True

线性筛选法

线性筛选法相比于筛选法要更加高效。在此算法中，我们仅保留用小素数筛选剩下的数字，而不是将它们全部筛选出来。时间复杂度为O(n)。

def sieve_of_eratosthenes_v2(n):
    """
    Finds the nth prime using a more advanced version of the sieve of Eratosthenes algorithm
    """
    primes = []
    sieve = [True] * (n + 1)
    for p in range(2, n + 1):
        if sieve[p]:
            primes.append(p)
        for prime in primes:
            if p * prime > n:
                break
            sieve[p * prime] = False
            if p % prime == 0:
                break
    return primes[n - 1]

总结

我们介绍了三种计算第N个素数的算法。这三种算法都可以保证计算结果是正确的，但是使用的时间和空间复杂度略有不同。

• 第一种算法 - 筛选法，速度较慢，但易于实现和理解；
• 第二种算法 - 米勒-拉宾素数测试法，速度快，但概率法可能有误差；
• 第三种算法 - 线性筛选法，速度快，但实现略微复杂。

根据需求，选择相应的算法即可。