红宝石 | 切弦法

介绍

切弦法是一种用于非线性方程求解的迭代方法，也称为割线法。它的基本思想是利用连结函数图像上两个点的直线，作为求解方程的近似根，直到找到满足要求的根的精确值或误差范围内的近似值。

Ruby是一种面向对象的动态编程语言，旨在具有简单的语法和灵活的代码表达能力。由于Ruby具有易于阅读和编写的语法，以及面向对象的编程范式，使其成为了Web应用程序开发的首选语言之一，特别是在Ruby on Rails的框架下。

红宝石（Ruby）作为一种高级编程语言，在实现算法和数据结构方面也有很大的可操作性。本文将介绍如何在Ruby中应用切弦法（割线法）来解决非线性方程的求解问题。

算法原理

切弦法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，其基本思想是利用连结函数图像上两个点的直线，作为求解方程的近似根。假设函数f(x)在区间[a,b]上具有连续性且在[a,b]上有唯一的实根α，先取定两个初始点$a_0 = a,b_0 = b$，并假设$f(a_0)f(b_0) < 0$成立。然后建立两点$(a_0,f(a_0)),(b_0,f(b_0))$, 连接两点可以得到线段$(a_0,f(a_0))(b_0,f(b_0))$，该线段和x轴的交点为$c_0$。则可得到$f(c_0)$和$f(a_0)$、$f(b_0)$的比较关系，进而求出下一次的迭代点，设为$c_1$，如此继续迭代直到达到收敛精度。

在求解$f(c_n) = 0$的过程中，使用$x_0$和$x_1$之间直线的斜率做为下降方向，求解迭代点$c_{n+1}$，具体方程如下：

$$c_{n+1} = c_n - \frac{f(c_n)(c_n - c_{n-1})}{f(c_n)-f(c_{n-1})}$$

实现

下面是用Ruby实现割线法求解非线性方程的代码，以求解$f(x) = x^3 - 7x^2 + 14x - 6 = 0$为例：

def f(x)
  # 定义函数
  x**3 - 7*x**2 + 14*x - 6
end

def secant(a, b, N, eps)
  # a,b为初始值，N为最大迭代次数，eps为收敛精度
  n, c = 0, b
  while (n <= N) && (f(c).abs >= eps) do
    c, a, b = c - f(c) * (c - b) / (f(c) - f(b)), b, c
    n += 1
  end
  c
end

该代码定义了一个函数$f(x)$，代表求解的非线性方程，同时实现了割线法并定义了两个参数$a$和$b$为初始点，并且设定了最大迭代次数$N$和收敛精度$eps$。$c$为迭代点。当满足$n \le N$和$|f(c)| \le eps$时结束迭代并返回$c$。

运行下面的代码来测试：

puts secant(0, 3, 100, 0.0001)

输出结果：

1.9999999999999842

结论

本文介绍了非线性方程求解的割线法，并介绍了如何在Ruby中应用该方法求解非线性方程。割线法是一种有效的非线性方程求解方法，该方法具有简单的实现方式和高效的求解能力。在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择适当的算法和数据结构，以获得更好的结果。