GeeksforGeeks 竞赛编程课程的基本数学

GeeksforGeeks 竞赛编程课程的基本数学部分涵盖了竞赛编程中必要的数学知识，包括数论，组合数学和概率论。

数论

数论是研究整数、素数、因子分解、同余关系和数论函数等数学分支。在竞赛编程中，数论常用于解决计数、搜索、数据结构等高级问题。GeeksforGeeks 的数论部分重点介绍了以下内容：

1. 基本数论函数：如欧拉函数、莫比乌斯函数等。
2. 素数判断和筛法：如试除法、欧拉筛法、线性筛法等。
3. 整数分解和因子计数：如试除法、Pollard-Rho 算法、Miller-Rabin 算法、莫比乌斯反演等。
4. 同余方程和线性同余方程：如扩展欧几里得算法、中国剩余定理等。

以下是同余方程问题的 Python 代码示例：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def extended_euclidean(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x, y = extended_euclidean(b, a % b)
    return d, y, x - y * (a // b)

def solve_congruence(a, b, m):
    d = gcd(a, m)
    if b % d != 0:
        return None
    a, b, m = a // d, b // d, m // d
    _, x, _ = extended_euclidean(a, m)
    return (x * b) % m

组合数学

组合数学是研究集合、组合、排列和离散数学等数学分支。在竞赛编程中，组合数学常用于解决计数、概率和图论等问题。GeeksforGeeks 的组合数学部分包含了以下内容：

1. 排列与组合：如欧拉数、普遍的鸽巢原理、斯特林数等。
2. 二项式系数和多项式系数：如加法公式、二项式反转恒等式等。
3. 置换和微积分：如 Burnside 引理、随机芳香圈算法等。

以下是计算二项式系数的 Python 代码示例：

def binomial_coefficient(n, k):
    if k > n:
        return 0
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    if k > n - k:
        k = n - k
    C = [0] * (k + 1)
    C[0] = 1
    for i in range(1, n - k + 1):
        for j in range(min(i, k), 0, -1):
            C[j] = C[j] + C[j - 1]
    return C[k]

概率论

概率论是研究随机现象和随机变量的数学分支。在竞赛编程中，概率论常用于解决游戏、随机化算法等问题。GeeksforGeeks 的概率论部分重点介绍了以下内容：

1. 随机变量和概率分布：如概率质量函数、概率分布函数等。
2. 期望值和方差：如条件期望、随机变量的和、黑杰克游戏等。
3. 洗牌算法和随机化算法：如 Fisher-Yates 算法、拉斯维加斯算法等。

以下是实现 Fisher-Yates 洗牌算法的 Python 代码示例：

import random

def shuffle(array):
    n = len(array)
    for i in range(n - 1):
        j = random.randint(i, n - 1)
        array[i], array[j] = array[j], array[i]

总之，掌握基本的数学知识对竞赛编程非常重要。GeeksforGeeks 竞赛编程课程的数学部分为竞赛编程爱好者提供了良好的学习资源，帮助大家更好地应对各种高难度的问题。