Python中的sympy.integrals.transforms.mellin_transform()

在符号计算领域， Mellin 变换是很常见的一种数学工具。 Python 提供了 Sympy 库，其中的 integrals.transforms 子库提供了 Mellin 变换（mellin_transform()）和逆 Mellin 变换（inverse_mellin_transform()）的函数。

什么是 Mellin 变换？

Mellin 变换是 Laplace 变换和 Fourier 变换的一般化。它将一个函数 $f(x)$ 转换为另一个函数 $F_p$ ，式子如下：

$$F_p = \mathcal{M}{f(x)}(p) = \int_0^\infty x^{p-1}f(x)\ dx$$

其中，$p$ 是 Mellin 参数，可以是实数、复数或函数。

如何使用 mellin_transform()？

mellin_transform() 函数有三个参数：函数 $f(x)$，Mellin 参数 $p$ 和 $x$ 取值范围 $[a, b]$。该函数返回一个含有三个元素的元组，依次为：Mellin 变换后的函数、Mellin 变换后函数的奇点和极点的集合以及 Mellin 参数 $p$ 的定义域。

from sympy.integrals.transforms import mellin_transform
from sympy import exp, symbols

x, p = symbols('x p')
f = exp(x)
a, b = (0, 1)

F = mellin_transform(f, x, p, (a, b))

print(F)
# Output: (gamma(p), {}, (0, ∞))

在上述代码中，我们首先 import 了 mellin_transform 和 symbols，分别用于调用 Mellin 变换函数和定义符号变量 $x$ 和 $p$。然后定义了函数 $f(x)=e^x$ 和 Mellin 变换 $p$ 的定义域为 $[0,1]$。最后，通过调用 mellin_transform() 函数，计算得到了 $F_p$。

该函数返回的结果是一个元组，其中第一项为 $\Gamma(p)$，$\Gamma(p)$ 是伽马函数，它对数学建模、物理衍生和图像处理具有重要意义，第二项为空集合，表示 $F_p$ 没有奇点和极点，第三项为 $p$ 的定义域是 $[0,\infty)$。

如何使用 inverse_mellin_transform()？

逆 Mellin 变换 inverse_mellin_transform() 与 Mellin 变换 mellin_transform() 是互逆的，一般的形式为：

$$f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} x^{-p}F_p\ dp$$

其中，$a$ 是足够大的实数。逆 Mellin 变换返回一个含有两个元素的元组，依次是逆 Mellin 变换后的函数以及 $x$ 的定义域。

from sympy.integrals.transforms import inverse_mellin_transform
from sympy import exp, symbols

x, p = symbols('x p')
F = p/(p**2 + 1)
a = 0

f = inverse_mellin_transform(F, p, x, (a,))

print(f)
# Output: sin(x)/x

在上述代码中，我们首先 import 逆 Mellin 变换函数 inverse_mellin_transform 和符号库 symbols，分别用于调用逆 Mellin 变换和定义符号变量 $x$ 和 $p$。定义了 Mellin 变换 $F_p = \frac{p}{p^2+1}$ 和 $x$ 的定义域为 $[0,\infty)$。然后，通过调用 inverse_mellin_transform() 函数，计算得到了逆 Mellin 变换的结果。

该函数返回的结果是 $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$，因为 $F_p = \frac{p}{p^2+1}$ 的逆 Mellin 变换是 $\mathcal{M}^{-1}{F(p)}(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} x^{-p}F_p\ dp = \frac{\sin(x)}{x}$，其中 $a$ 是足够大的实数。

总结

关于 Mellin 变换和逆 Mellin 变换，Python 的 Sympy 库提供了 mellin_transform() 和 inverse_mellin_transform() 函数，可以帮助我们使用这种数学工具。使用这些函数的过程需要先定义函数 $f(x)$、Mellin 参数 $p$ 和 $x$ 的定义域，然后传入函数和变量参数即可得到 Mellin 或逆 Mellin 变换的结果。