动态规划之游戏的最优策略

简介

动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决一类特殊最优化问题的有效、普遍、基本方法。其基本思想是，将原问题分解成若干个子问题，先求解子问题，再由子问题的解得到原问题的解。DP中最重要的概念是状态和状态转移方程。状态是用来描述问题的解空间的，转移方程则是用来描述子问题与原问题之间的联系的。

游戏问题常常会用到动态规划的思想。在游戏中，我们需要考虑每一步的决策，以达到最终胜利的目标。游戏的最优策略就是在每一步中做出最优决策，以最大化自己的收益或最小化对手的收益。

问题描述

现有两个人进行一个取石子游戏。一开始有 $n$ 颗石子，每个人每次可以取走 $1$ 或 $2$ 颗石子。两个人轮流取石子，直到取完为止。最后拥有偶数颗石子的人胜利，求对先手而言的最优策略。

状态设计

对于游戏问题，我们需要设计出每一步的所有可能情况。我们假设当前还剩 $x$ 颗石子，且轮到先手取石子。那么先手有两个选择，一是取走 $1$ 颗石子，留给后手剩下 $x-1$ 颗石子，二是取走 $2$ 颗石子，留给后手剩下 $x-2$ 颗石子。这时我们可以定义一个状态 $f(x)$ 表示在还剩 $x$ 颗石子时，先手的最优选择应该是取走几颗石子。

状态转移方程

根据前面的状态设计，我们可以得到状态转移方程：

$$f(x) = \max{f(x-1),f(x-2)} $$

当只剩下 $1$ 颗石子时，先手就只能取走这颗石子，此时有 $f(1)=1$。当只剩下 $2$ 颗石子时，先手可以取走 $1$ 颗或 $2$ 颗，此时有 $f(2)=2$。

代码实现

以下是基于状态转移方程的代码实现（Python）：

def optimal_strategy(n):
    # 设f(x)表示在还剩x颗石子时，先手选择取石子的最大获胜数
    f = [0] * (n + 1)
    # 当只剩下1颗石子时，先手只能取走这1颗石子
    f[1] = 1
    # 当只剩下2颗石子时，先手可以取走1颗或2颗
    f[2] = 2

    for i in range(3, n + 1):
        f[i] = max(f[i - 1], f[i - 2])

    return f[n]

总结

游戏问题常常可以用动态规划的思想来解决。在设计状态时，需要考虑每一步可能出现的情况，给每种情况定义一个状态；在求解最优策略时，需要设计状态转移方程，以便求出每个状态的最优解。在本例中，我们将每个状态定义为在还剩 $x$ 颗石子时，先手的最优选择应该是取走几颗石子，并根据先手是否取走 $1$ 或 $2$ 颗石子来设计状态转移方程。