范围内的斐波那契数之和

在计算斐波那契数列时，我们会经常需要计算一定范围内的斐波那契数的和。这个问题看起来很简单，但是实际上有多种解决方法和优化策略。在这篇文章中，我们将介绍一些常见的方法和技巧，以及它们的时间复杂度和优缺点。

暴力枚举

最简单的方法是直接利用递推式 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 计算所有落在给定范围内的斐波那契数，并将它们相加。具体的实现如下：

def fib_sum(a, b):
    f1, f2 = 0, 1
    s = 0
    while f2 <= b:
        if a <= f2 <= b:
            s += f2
        f1, f2 = f2, f1 + f2
    return s

这个方法的时间复杂度是 $O(\log n)$，其中 $n=\max{F_k|F_k\le b}$。因为斐波那契数列的增长速度很快，而且存在黄金分割比例 $\phi=(1+\sqrt{5})/2$，所以 $n$ 的规模通常不会太大。但是，当 $b$ 很大时，这个方法仍然可能需要花费很长时间才能完成。

公式法

如果我们想计算的是一段连续的斐波那契数的和，我们可以考虑使用一些数学公式来简化计算。例如，斐波那契数列有一个很重要的性质，即相邻的两个数之比趋近于黄金分割比例 $\phi$。这个性质可以用以下公式计算：

$$\frac{F_{k-1}}{F_k}=\frac{F_k-F_{k-1}}{F_k}=1-\frac{F_{k-1}}{F_k}=1-\frac{1}{\phi^k}$$

根据这个公式，我们可以得到以下结论：

$$F_k=\frac{\phi^k-(1-\phi)^k}{\sqrt{5}}$$

利用这个公式，我们可以快速计算一定范围内的斐波那契数的和。具体的实现如下：

import math

def fib_sum(a, b):
    phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
    k1 = int(math.log(a * math.sqrt(5) + 0.5, phi))
    k2 = int(math.log(b * math.sqrt(5) + 0.5, phi))
    if k2 < k1:
        return 0
    if k1 == k2:
        return int(phi ** k1 / math.sqrt(5) + 0.5)
    s = int((phi ** (k2+1) - phi ** k1) / math.sqrt(5) + 0.5)
    f1, f2 = 1, 1
    for k in range(k1+1, k2):
        f1, f2 = f2, f1+f2
        s += f2
    return s

这个方法的时间复杂度是 $O(\log n)$，其中 $n=\max{F_k|F_k\le b}$。因为这个方法不需要遍历整个数列，所以相对于暴力枚举，它在计算较大的范围时速度会更快。

动态规划

斐波那契数列也可以用动态规划算法来求解。动态规划算法的基本思想是将一个复杂问题分解成若干个子问题求解，以解决原问题。在计算斐波那契数列的过程中，我们可以使用一个数组 $dp$ 来存储每个斐波那契数，然后逐步计算出目标范围内的斐波那契数和。具体的实现如下：

def fib_sum(a, b):
    dp = [0, 1]
    i, s = 1, 0
    while dp[i] <= b:
        if dp[i] >= a:
            s += dp[i]
        i += 1
        dp.append(dp[i-1]+dp[i-2])
    return s

这个方法的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是目标范围内斐波那契数的个数。虽然这个方法的时间复杂度较高，但是它比较容易实现，并且可以在需要计算多个范围的情况下进行优化。

总结

在本文中，我们介绍了三种计算给定范围内的斐波那契数和的方法。这些方法包括暴力枚举、公式法和动态规划。这些方法有它们各自的优点和缺点，我们需要根据不同的需求和情况进行选择和优化。在实际应用中，我们还可以结合一些其他技巧和优化策略，如矩阵快速幂、递归公式等，以进一步提高算法的效率和精度。