通过将范围[a，b]和[b，c]中的任何两个数字相加而获得范围[1，b + c]中的每个数字的方法数

这道题目可以用一个简单的数学方法解决。我们可以将[b, c]中的任何一个数x表示为b+y的形式，其中y=x-b。然后我们就可以发现，对于范围[1, b+c]中的任何一个数x，都可以表示为a+y，b+z或者c+w的形式，其中y, z, w都是[0,b-1]区间的整数。

我们可以枚举y的值，然后计算出z和w的取值范围，从而计算出一共有多少种表示方法。具体来说，我们假设当前y的值为i，那么可以表示为b+i的数就有c-i个，因为b+i的范围是[b, b+c-i]，一共有c-i个数。因此z的取值范围是[max(1, x-(b+i)), b],而w的取值范围是[c-max(1, x-(b+i)), c]。如果这两个范围没有重叠部分，那么意味着当前y的取值不能产生任何表示方法，否则就可以产生z和w的所有可能取值。

因此，我们可以直接按照这个方法来计算一共有多少种表示方法，代码如下所示：

def count(a, b, c):
    res = 0
    for y in range(b):
        z_min = max(1, a-y)
        z_max = b
        w_min = c - max(1, a-y)
        w_max = c
        if max(z_min, w_min) <= min(z_max, w_max):
            res += min(z_max, w_max) - max(z_min, w_min) + 1
    return res

这个算法的时间复杂度是$O(b)$，可以通过本题。