对的绝对差至少为 Subsequence 的最大值的最长子序列

前言

在计算机科学中，一个序列是由一些被称作元素的对象组成的数据结构。序列是一种简单却非常有用的数据结构，在计算机程序中广泛应用。本文将介绍一个经典的序列问题：对的绝对差至少为 Subsequence 的最大值的最长子序列。

问题描述

给定一个序列 $S$，求它的一个子序列 $T$，使得 $T$ 中任意两个元素的绝对差都至少为 $Subsequence$，且 $T$ 的长度最大。

算法思路

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以用 $dp[i]$ 表示以 $S_i$ 结尾的最长子序列长度。

由于任意两个元素的绝对差都至少为 $Subsequence$，因此我们可以将序列 $S$ 中的元素按照大小进行分类，将相差不超过 $Subsequence$ 的元素划分到同一类中。

假设将序列 $S$ 划分成了 $k$ 类，第 $i$ 类的元素集合为 $C_i$，则对于当前元素 $S_j$，我们只需要找到满足 $S_j-S_i\geq Subsequence$ 的最小下标 $i$，然后 $dp[j]$ 就可以由 $dp[i]+1$ 转移而来，即：

$$dp[j]=\max_{1\leq i<j,S_j-S_i\geq Subsequence}{dp[i]+1}$$

最终，$S$ 的最长子序列长度就是所有 $dp[i]$ 中的最大值。

代码实现

下面是该算法的 Python 代码实现：

def maxSubsequence(arr: List[int], subsequence: int) -> int:
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    classes = [[] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if abs(arr[i] - arr[j]) <= subsequence:
                classes[j].append(i)
        for k in range(i):
            if arr[i] - arr[k] >= subsequence:
                for idx in classes[k]:
                    dp[idx] = max(dp[idx], dp[k] + 1)
    return max(dp)

总结

本文介绍了一个经典的序列问题：对的绝对差至少为 $Subsequence$ 的最大值的最长子序列。通过动态规划的思想，我们可以很容易地解决这个问题。希望本文能够对读者有所帮助。