有多少种方法可以选择 3 个非负整数使得 a + b + c = 10？

这是一道比较基础的组合数学问题，可以使用数学公式或编程算法来求解。

数学公式解法

根据组合数学的知识，可以使用组合数或插板法来求解。

组合数解法

假设有 $n$ 个无区别的球要放入 $r$ 个有区别的盒子中，每个盒子至少装一个球，那么有：

$$C_{n-1}^{r-1}$$

种不同的方法。

对于本题，可以将 10 个无区别的球看作有 9 个隔板将它们分成 3 个区域，第一个区域表示数值为 $a$ 的数的个数，第二个区域表示数值为 $b$ 的数的个数，第三个区域表示数值为 $c$ 的数的个数。那么有：

$$C_{10-1}^{3-1} = C_9^2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$$

种不同的方法。

插板法解法

假设有 $n$ 个无区别的球要放入 $r$ 个有区别的盒子中，每个盒子可以为空，那么有：

$$C_{n+r-1}^{r-1}$$

种不同的方法。

对于本题，可以将 10 个无区别的球看作有 2 个隔板将它们分成 3 个区域，即 $(a-0)$、$(b-a)$ 和 $(c-b)$。那么有：

$$C_{10+2-1}^{3-1} = C_{11}^2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$$

种不同的方法。

编程算法解法

对于本题，可以使用递归算法、循环算法或动态规划算法来求解。

递归算法

def count_ways_recursive(n, k, m):
    if k == 1:
        return 1 if n <= m else 0
    ways = 0
    for i in range(n + 1):
        ways += count_ways_recursive(n - i, k - 1, m)
    return ways

n = 10
k = 3
print(count_ways_recursive(n, k, n))

递归算法比较直观，但是时间复杂度为 $O(n^k)$，所以对于本题来说不够优秀。

循环算法

def count_ways_loop(n, k, m):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, k):
        for j in range(n + 1):
            for x in range(j + 1):
                dp[j] += dp[j - x]
    ways = dp[n]
    return ways

n = 10
k = 3
print(count_ways_loop(n, k, n))

循环算法使用了动态规划的思想，时间复杂度为 $O(n^2 \times k)$，空间复杂度为 $O(n)$，比递归算法更优秀。

动态规划算法

def count_ways_dp(n, k, m):
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = 1 if i <= m else 0
    for i in range(1, k):
        for j in range(0, n + 1):
            for x in range(j + 1):
                if j - x <= m:
                    dp[j][i + 1] += dp[j - x][i]
    ways = dp[n][k]
    return ways

n = 10
k = 3
print(count_ways_dp(n, k, n))

动态规划算法使用了二维数组记录状态，时间复杂度为 $O(n^2 \times k)$，空间复杂度也为 $O(n^2 \times k)$，但是代码量比循环算法要大很多。对于本题来说，循环算法与动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度都是可以接受的。