使用给定操作最小化为无向图的所有顶点着色的成本

在计算机科学中，一个非常常见的问题是如何对一个无向图的所有顶点进行着色，而不使任何相邻的顶点具有相同的颜色。这个问题被称为“图着色问题”。

为了解决这个问题，许多算法被开发出来。其中一个流行的算法是使用贪心算法，它尝试使用尽可能少的颜色来着色图，并且仅在有必要时才增加新颜色。 贪心算法的关键是定义一个好的“选择顺序”，即选择要着色的顶点顺序。

在本文中，我们将探讨如何使用两种贪心算法（Welsh-Powell算法和DSatur算法）最小化为无向图的所有顶点着色的成本。

Welsh-Powell算法

Welsh-Powell算法将顶点按顺序着色，顺序是将它们按度数从高到低排序。然后，对于每个未着色的顶点，选择尽可能少的颜色来涂色，使得与该顶点相邻的任何已涂色顶点都与该顶点颜色不同。

伪代码

function WelshPowell(graph):
    sort vertices of graph in descending order of degree
    for each vertex v in the sorted list:
        if v is not colored:
            color v with the smallest unused color such that no two adjacent vertices have the same color

复杂度

Welsh-Powell算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是图中的边数。

示例

以下是一个使用Welsh-Powell算法着色的例子（使用五种颜色）：

DSatur算法

DSatur算法使用一个“饱和度”（saturation）值来选择一个顶点着色。饱和度是指一个顶点已经被着色的相邻顶点的不同颜色数。 饱和度值最低的未着色顶点被选择着色，并使用尽可能少的颜色，使得与该顶点相邻的任何已涂色顶点都与该顶点颜色不同。

伪代码

function DSatur(graph):
    set saturation of each vertex to 0
    color the vertex with the highest degree with color 1
    while there is an uncolored vertex:
        choose the uncolored vertex v with the highest saturation and, in case of ties, with the highest degree
        color v with the smallest unused color such that no two adjacent vertices have the same color
        update the saturation of all neighbors of v

复杂度

DSatur算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E是图中的边数，V是顶点数。

示例

以下是一个使用DSatur算法着色的例子（使用五种颜色）：

结论

使用Welsh-Powell算法和DSatur算法都可以在很短的时间内找到无向图的最小顶点着色。 这两种算法的差异在于他们定义的“选择顺序”。 Welsh-Powell算法定义了一个确定的顺序，而DSatur算法根据饱和度和度数选择顶点。

总而言之，无论哪种算法，着色结果往往不是唯一的，因为可能存在不同的选择顺序或者不同的起始条件。因此，这两种算法可能会产生不同的着色结果，但他们都会尽可能地使用最少的颜色完成任务。