在给定范围的每个窗口中包含至少 P 个素数的最小窗口大小

背景

在数学中，素数是指只能被 1 和它本身整除的自然数。而在计算机科学领域，素数也是一个非常重要的概念，因为他们经常被用于算法设计和密码学中。

在一些具体的问题中，我们需要在给定的范围内找到一个大小为 P 的连续子序列，其中至少包含 P 个素数。这时候，我们需要设计一个高效的算法来求解。

思路

一种常见的思路是，我们可以先通过试除法或其他素数测试算法找到给定范围内的所有素数。然后，我们可以使用滑动窗口技巧，在这些素数的位置上进行滑动，并记录每个窗口中包含的素数个数。

具体的实现可以使用两个指针，i 和 j，表示当前窗口的左右端点。如果当前窗口中包含的素数个数小于 P，我们就向右移动右指针 j，向窗口中添加一个新的素数；如果当前窗口中包含的素数个数大于等于 P，我们就向右移动左指针 i，将窗口左侧的元素移除，并重新计算素数个数。这样，我们就可以在 O(N) 的时间复杂度内得到最小窗口大小。

Python 代码实现

def count_primes(n: int) -> int:
    """使用埃拉托色尼筛法快速计算素数个数"""
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    return sum(is_prime)

def min_window_size(nums: List[int], P: int) -> int:
    """计算至少包含 P 个素数的最小窗口大小"""
    primes = [i for i in range(2, max(nums) + 1) if count_primes(i) == 1]
    i = j = 0
    cnt = 0
    res = float("inf")
    while j < len(nums):
        if nums[j] in primes:
            cnt += 1
        while cnt >= P:
            res = min(res, j - i + 1)
            if nums[i] in primes:
                cnt -= 1
            i += 1
        j += 1
    return res if res != float("inf") else -1

上述代码中，我们使用了埃拉托色尼筛法来快速计算素数个数，并使用了滑动窗口技巧来实现计算。具体可以参考代码注释进行理解。

总结

通过本文的讲解，我们可以了解到如何在给定范围中找到至少 P 个素数的最小窗口大小。对于一些需要计算素数个数的问题，我们可以使用埃拉托色尼筛法来降低时间复杂度；同时，滑动窗口技巧也是解决连续子序列问题的一个常见思路，值得学习和掌握。