从给定数组中找到原始数组，其中第 i 个元素是前 i 个元素的平均值

在一些计算题目中，我们经常需要根据给定数组的某种规律，求解出一个原始的数组。例如，给定一个数组 arr，其中第 i 个元素是前 i 个元素的平均值，我们需要求解出原始的数组。

例如，给定数组 arr=[1, 2, 2.5, 3]，则原始数组为 [1, 3, 2, 4]。

这种问题的求解可以采用数学方法，具体的做法请参考下文。

数学方法

假设原始数组为 a，其长度为 n。根据题意，我们有下列等式成立：

a[1]=arr[1]
a[2]=(arr[1]+arr[2]*2)/3
a[3]=(arr[1]+arr[2]*2+arr[3]*3)/6
a[4]=(arr[1]+arr[2]*2+arr[3]*3+arr[4]*4)/10
.
.
.
a[n]=(arr[1]+arr[2]*2+...+arr[n]*n)/(1+2+...+n)

根据这个等式，我们可以依次求解出原始数组中的每一个元素。

代码实现

下面是用 Python 实现求解原始数组的代码：

def findOriginalArray(arr: List[float]) -> List[float]:
    n = len(arr)
    if n % 2 != 0:
        return []

    arr = sorted(arr)

    res = []
    dic = {}

    for num in arr:
        if num * 2 in dic and dic[num * 2] > 0:
            res.append(num)
            dic[num * 2] -= 1
        else:
            if num not in dic:
                dic[num] = 0
            dic[num] += 1

    if len(res) != n // 2:
        return []

    return res

返回值说明：

• arr：输入的数组，其中第 i 个元素是前 i 个元素的平均值。
• res：求解出的原始数组。

性能分析

这段代码的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 是数组的长度。

排序的时间复杂度为 O(nlogn)。

求出原始数组的时间复杂度为 O(n)。

因此总的时间复杂度为 O(nlogn)。