Golang 中的 math.J0() 函数

简介

math.J0() 函数是 Golang 标准库中的数学函数，用于计算第一类贝塞尔函数的零阶值，其函数原型如下：

func J0(x float64) float64

使用方法

在使用 math.J0() 函数前，需要先导入 Golang 的数学库模块 math。函数参数 x 为浮点数类型，返回值也为浮点数类型。代码示例如下：

import "math"

func main() {
    x := 2.0
    res := math.J0(x)
    fmt.Println(res)
}

输出结果为：

0.22389077914123556

示例

我们以求解菲涅尔衍射中的单缝衍射光强分布为例，其中需要用到贝塞尔函数。单缝衍射的光强分布公式如下：

$$I(\theta)=\left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2 J_{1}(k a \sin \theta)}{k a \sin \theta}\right)^{2}$$

其中 $\alpha=\pi a \sin \theta / \lambda, J_{1}(x)$ 为第一类贝塞尔函数，$a$ 为单缝宽度，$\theta$ 为衍射角，$\lambda$ 为入射光波长，$k=2 \pi / \lambda$ 为波数。

下面是通过 Golang 计算并绘制单缝衍射光强分布的示例代码：

package main

import (
    "fmt"
    "image"
    "image/color"
    "image/png"
    "math"
)

const (
    wavelength = 633e-9 // 光波长
    k          = 2 * math.Pi / wavelength
    a          = 10e-6 // 单缝宽度
    f          = 1     // 焦距
    L          = 1e-3  // 感光面到衍射面的距离
    N          = 1000  // 采样点数
    ThetaMax   = 2e-4  // 衍射角范围
)

func main() {
    img := image.NewGray(image.Rect(0, 0, N, N))
    delta := ThetaMax / float64(N/2) // 衍射角步长
    for i := -N / 2; i < N/2; i++ {
        for j := -N / 2; j < N/2; j++ {
            theta := math.Atan(math.Hypot(float64(i), float64(j)) / f)
            alpha := math.Pi * a * math.Sin(theta) / wavelength
            var intensity float64
            if alpha != 0 {
                intensity = math.Pow(math.Sin(alpha)/alpha, 2) *
                    math.Pow(2*math.J1(k*a*math.Sin(theta))/(k*a*math.Sin(theta)), 2)
            } else {
                intensity = 1
            }
            img.SetGray(i+N/2, j+N/2, color.Gray{uint8(intensity * 255)})
        }
    }
    file, err := os.Create("output.png")
    if err == nil {
        png.Encode(file, img)
    }
}

其中 math.J1() 函数计算第一类贝塞尔函数的一阶值。运行上述代码后，输出的图像为：

参考资料

• Go Documentation
• 菲涅尔衍射的模拟实现