每个数组元素与所有其他数组元素的按位XOR的总和

简介

对于一个长度为n的数组，每个数组元素与其他n-1个元素进行按位XOR操作得到一个值，最终将所有值求和即为“每个数组元素与所有其他数组元素的按位XOR的总和”。这个问题在编程竞赛和算法中经常出现，解决它需要高效的算法和数据结构知识。

解法

暴力算法

最容易想到的算法是从数组的第一个元素开始，分别与其他元素进行XOR操作，最后将每个元素的结果加起来。这个算法的时间复杂度是O(n^2) ，当n很大的时候效率很低。

位运算

使用位运算可以有效地减少时间复杂度。对于一个数a和另一个数b，它们进行按位XOR操作所得的结果c可以通过以下公式计算出来：

c = a XOR b

而对于一个长度为n的数组A来说，它的每个元素a[i]可以与其他所有元素按位XOR操作得到一个值x[i]，即：

x[i] = a[0] XOR a[1] XOR ... XOR a[i-1] XOR a[i+1] XOR ... XOR a[n-1]

那么将所有的x[i]加起来就是“每个数组元素与所有其他数组元素的按位XOR的总和”。

具体实现时，可以先将数组A中所有元素按位XOR操作得到一个初始值result，然后依次遍历数组A，每遇到一个元素a[i]，就将result与a[i]进行XOR运算，即：

result = result XOR a[i]

最后得到的就是“每个数组元素与所有其他数组元素的按位XOR的总和”。

这种算法的时间复杂度是O(n)，比暴力算法高效很多。

代码片段

下面是Java语言的实现代码片段：

/**
 * 计算一个数组的XOR总和
 * 
 * @param A 数组
 * @return XOR总和
 */
public static int xorSum(int[] A) {
    int result = 0;
    for (int i = 0; i < A.length; i++) {
        result ^= A[i];
    }
    return result * (A.length - 1);
}

上述代码利用了位运算的技巧来求解XOR总和，时间复杂度为O(n)。