使用Sieve O(log n)进行质因子分解以进行多个查询

Sieve算法是一种用于快速查询素数的算法，在这里我们将使用Sieve算法来进行质因子分解。相比于暴力枚举的方式，使用Sieve算法可以更加高效地处理多个查询。

算法思路

首先，我们需要生成一个长度为 $n$ 的数组 $prime$。然后，我们可以使用Sieve算法将质数标记为 true，将合数标记为 false。

接下来，我们就可以通过对目标数进行质因子分解，查询出其所有的质因子。

代码实现

以下代码实现了基于Sieve算法的质因子分解函数

def primeFactors(n, prime):
    factors = []
    for i in range(2, n + 1):
        if prime[i]:
            while n % i == 0:
                factors.append(i)
                n //= i
            if n == 1:
                break
    return factors

接下来我们可以通过以下方法来进行多个查询

def query(n, m):
    # 生成长度为m+1的数组prime并使用Sieve算法标记
    prime = [True] * (m + 1)
    for i in range(2, int(m ** 0.5) + 1):
        if prime[i]:
            for j in range(i * i, m + 1, i):
                prime[j] = False
    # 对n进行质因子分解
    return primeFactors(n, prime)

示例

以下简单示例演示了如何使用上述代码实现对多个查询的高效处理。

m = 1000
n_list = [12, 15, 20, 25, 30]

for n in n_list:
    print(f"n = {n}, prime factors = {query(n, m)}")

结果为

n = 12, prime factors = [2, 2, 3]
n = 15, prime factors = [3, 5]
n = 20, prime factors = [2, 2, 5]
n = 25, prime factors = [5, 5]
n = 30, prime factors = [2, 3, 5]

结语

使用Sieve算法进行质因子分解可以大大提高对多个查询的高效处理能力。同时，通过优化Sieve算法的实现，还可以进一步提高其查询速度。