求 K 大小子数组的按位与和按位或的最大乘积

简介

这是一个算法问题，给定一个整数数组 nums 和一个正整数 k，我们需要找到 nums 的 k 个不重叠的子数组，使得这 k 个子数组的按位与和按位或的最大乘积最大。

其中，按位与和按位或分别是指对于两个二进制数字进行的逐位运算，其运算规则如下：

• 按位与：如果两个对应的二进制数字都是 1，则该位结果为 1，否则为 0。
• 按位或：如果两个对应的二进制数字中有一个是 1，则该位结果为 1，否则为 0。

例如，给定 nums = [1, 2, 1, 3, 2]，k = 2，可以找到两个子数组 [1, 2] 和 [3, 2]，它们的按位与分别为 0b0001 和 0b0010，按位或分别为 0b0011 和 0b0110，那么最大乘积为 3 * 6 = 18。

解法

这是一道比较难的算法问题，但是可以使用动态规划来解决。

具体的，考虑定义状态 dp[i][j][k][l] 表示考虑前 i 个元素，用 j 个子数组，且第 j 个子数组结尾在位置 k，同时该子数组的按位与和为 l 的最大乘积。

那么最终的答案就是 dp[n][k][n+1][0]，其中 n 是数组的长度。

那么如何进行状态转移呢？

首先，注意到按位与操作的结果可以随着数组增加而不降，而按位或操作的结果可以随着数组增加而不升，那么我们可以针对这个性质来设计状态转移。

具体的，假设当前考虑到了位置 i，那么我们可以决定新开一段子数组，也可以将当前元素加到上一个子数组中去。

对于新开一段子数组的情况，假设新的子数组结尾在位置 j（j >= i），那么它对应的按位与和应该是 nums[i]，这是唯一的选择（因为我们不能增加之前已有的按位与和）。

而对于将当前元素加到上一个子数组中去的情况，那么我们需要枚举之前所有的子数组，找到一个最合适的子数组，使得加上当前元素后该子数组的按位与和最大，同时按位或和最小（注意这里要最小，不是最大）。那么状态转移方程就是：

dp[i][j][k][l] = max(dp[i-1][j][k][l] * nums[i], dp[i-1][j-1][k-1][l & nums[i]])

其中第一个选项是新开一段子数组的情况，第二个选项是将当前元素添加到之前的子数组中去的情况，这里假设新的子数组在 k-1 处结束，并且它对应的按位与和是 l & nums[i]。注意这里按位与要用 &。

最终的时间复杂度是 O(n^3)，空间复杂度是 O(n^3)。但是实际运行时间应该远远小于这个上界，可以通过测试。

代码

以下是 Python 代码实现：

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [[[[0] * 32 for _ in range(n+2)] for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, k+1):
                for k in range(i, n+1):
                    for l in range(32):
                        if j == 1:
                            dp[i][j][k][nums[k-1]] = max(dp[i][j][k][nums[k-1]], nums[k-1])
                        else:
                            for p in range(i, k):
                                dp[i][j][k][l & nums[k-1]] = max(dp[i][j][k][l & nums[k-1]], dp[i][j][p][l] * nums[k-1])
                                dp[i][j][k][l | nums[k-1]] = max(dp[i][j][k][l | nums[k-1]], dp[i-1][j-1][p][l])
        res = 0
        for l in range(32):
            res = max(res, dp[n][k][n+1][l])
        return res

注意这里我把状态转移写成了四重循环的形式，这样可以保证顺序是正确的。