高度复合数

高度复合数是指该数的质因数分解中每个质因数的指数都比前一个质因数的指数高。例如，90的质因数分解为$2^13^25^1$，指数递增，因此它是高度复合数。另一方面，24的质因数分解为$2^33^1$，指数不递增，因此它不是高度复合数。

性质

高度复合数的性质如下：

• 高度复合数是非常稀少的。根据伟大的欧拉-波卡拉定理，任何一个大于1的整数都可以唯一地表示为一系列质数的乘积，因此高度复合数的存在意味着质数的指数与数量之间存在很强的制约关系。因此，高度复合数可以作为质数分布的一种衡量指标。

• 高度复合数具有较高的计算复杂度。求一个数是否为高度复合数是一个非常棘手的问题。最简单的方法是直接对其进行质因数分解并比较指数，但这通常不是高效的做法，因为质因数分解本身就是一个非常困难的问题。因此，目前还没有非常有效的算法可以求解高度复合数问题。

• 高度复合数与加密算法有关。高度复合数的存在性使得一些特定的加密算法在理论上是可行的，例如Rabin密码体制。这种密码体制的安全性基于质因数分解问题的困难程度，因此高度复合数的存在意味着它可能成为一种有效的密钥。

代码实现

以下是一个用Python实现检查一个数是否为高度复合数的函数：

def is_highly_composite(n):
    if n < 2:
        return False
    factors = factorize(n)
    last_exp = 0
    for _, exp in factors:
        if exp <= last_exp:
            return False
        last_exp = exp
    return True

def factorize(n):
    factors = []
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        exp = 0
        while n % i == 0:
            exp += 1
            n //= i
        if exp > 0:
            factors.append((i, exp))
    if n > 1:
        factors.append((n, 1))
    return factors

该函数首先利用factorize函数将所给数进行质因数分解，并遍历得到每个质因数的指数，最后判断是否递增即可。