交换备用边界对

简介

在一个网络流的残留网络中，如果某一个源节点可以到达汇节点，那么就称该网络具备流量增广的可能性，也就是说，我们可以通过更多的流量来增加这个源节点到汇节点的流量。

在网络流算法中，我们需要寻找最小割，来计算当前网络中的流量上限。而在最小割的计算过程中，我们需要确定每个节点的层级，也就是从源节点开始搜索，每个节点的层级是多少。如果一个节点的层级比另外一个节点的层级高一层并且它与另外一个节点有边相连，那么我们就可以把这条边看作是备用边界对。

当我们进行最小割计算的时候，如果我们可以找到这些备用边界对，就可以减少最小割的计算次数，提高我们算法的效率。

实现

def find_boundary_edges(s, t, nodes, edges):
    # 初始化每个节点的层级
    level = [-1] * (len(nodes) + 1)
    level[s] = 0 # 源节点的层级为0

    # 使用广度优先搜索来确定每个节点的层级
    bfs_queue = [s] 
    while len(bfs_queue) > 0:
        current_node = bfs_queue.pop(0)
        for edge in edges:
            if edge[0] == current_node and level[edge[1]] == -1 and edge[2] > 0:
                # 如果当前节点和这条边的终点节点之间有流量，并且终点节点的层级没有被确定过
                # 那么我们就可以确定终点节点的层级为当前节点的层级+1
                level[edge[1]] = level[current_node] + 1
                bfs_queue.append(edge[1])

    # 找到所有的备用边界对
    boundary_edges = []
    for edge in edges:
        if level[edge[0]] + 1 == level[edge[1]] and edge[2] == 0:
            # 如果当前两个节点构成了备用边界对，并且它们之间没有流量
            boundary_edges.append((edge[0], edge[1]))

    return boundary_edges

使用

在一个网络流算法中，我们可以使用上面的函数来确定所有的备用边界对。在计算最小割的时候，如果存在备用边界对，我们就可以直接交换这些备用边界对中的边，从而减少最小割的计算次数。

# 先找到所有的备用边界对
boundary_edges = find_boundary_edges(s, t, nodes, edges)

# 按照需求交换备用边界对
for boundary_edge in boundary_edges:
    # 找到边界对中的两条边
    e1 = (boundary_edge[0], boundary_edge[1], 0)
    e2 = (boundary_edge[1], boundary_edge[0], 0)

    # 找到这两条边在边集合中的索引
    index1 = edges.index(e1)
    index2 = edges.index(e2)

    # 交换这两条边
    edges[index1] = (e1[0], e1[1], INF)
    edges[index2] = (e2[0], e2[1], INF)

# 然后就可以使用最小割算法计算网络流了