通过删除元素形成的具有相同第一个和最后一个元素的最大子数组和

给定一个整数数组 nums ，你需要找到一个具有相同第一个和最后一个元素的最大子数组，并且该子数组中至少包含一个其他元素。

删除一个元素以后，数组被分成了两个连续的子数组。我们希望每个子数组都至少包含一个元素，并且它们的第一个元素和最后一个元素相同。这意味着删除的元素不能是第一个或最后一个元素。要找到具有相同第一个和最后一个元素的最大子数组，我们可以先找到所有与 nums[0] 相等的数，然后以这些数作为第一个元素，找到所有与 nums[0] 相等的数，然后以这些数作为最后一个元素，找出它们之间的最大子数组。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义 f(i,j) 表示从第 i 个元素到第 j 个元素中具有相同第一个和最后一个元素的最大子数组和。然后我们可以根据以下公式计算 f(i,j)：

f(i,j) = max(f(i+1,j), f(i,j-1), g(i,j)+nums[i]+nums[j])

其中 g(i,j) 表示从第 i 个元素到第 j 个元素中最大的没有相同第一个和最后一个元素的子数组和。我们可以使用动态规划来计算 g(i,j)，定义 h(i,j) 表示从第 i 个元素到第 j 个元素中最大的子数组和。根据以下公式计算 h(i,j)：

h(i,j) = max(h(i+1,j), h(i,j-1), 0) + nums[j]
g(i,j) = max(h(i+1,j-1), h(i+2,j-2), ... , h(i,j-2), h(i+2,j-1), h(i+3,j-1), ... , h(i,j-1))

最终的答案是 f(1,n)，其中 n 是数组 nums 的长度。时间复杂度为 O(n^3)。

代码实现

def max_subarray_sum(nums):
    n = len(nums)
    h = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        h[i][i] = nums[i]
    for k in range(1, n):
        for i in range(n - k):
            j = i + k
            h[i][j] = max(h[i+1][j], h[i][j-1], 0) + nums[j]
    g = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            g[i][j] = max(h[i+1][j-1], h[i+2][j-2], *(h[i+2+k][j-1-k] for k in range(j-i-1)))
    f = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        f[i][i] = nums[i]
    for k in range(1, n):
        for i in range(n - k):
            j = i + k
            f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i][j-1], g[i][j] + nums[i] + nums[j])
    return f[0][n-1]

示例

>>> nums = [6, 1, 5, 2, 6]
>>> max_subarray_sum(nums)
17
>>> nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
>>> max_subarray_sum(nums)
0
>>> nums = [1, 2, 3, 2, 1]
>>> max_subarray_sum(nums)
7