盒子堆放问题 | DP-22

介绍

盒子堆放问题是一个经典的动态规划问题，涉及到将一系列盒子堆叠起来的问题。假设有 $n$ 个盒子，每个盒子都有一个宽度、高度和深度，我们需要将它们按照某种规则摆放。

问题描述

假设有 $n$ 个盒子，第 $i$ 个盒子的宽度、高度和深度分别为 $w_i$、$h_i$ 和 $d_i$。现在需要按照以下规则将这些盒子堆放起来：

1. 每个盒子都可以选择放置在另一个盒子的顶部，也可以选择放置在地面上；
2. 盒子放在顶部时，必须满足上面的盒子的宽度、高度和深度都比下面的盒子小。

我们需要找到一种方案，使得堆放在一起的所有盒子的高度之和最大。

解决方案

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。我们定义 $dp_i$ 表示前 $i$ 个盒子中，以第 $i$ 个盒子为顶层盒子的最大高度。因此，我们需要在对前 $i-1$ 个盒子进行遍历的同时，找到所有可以放置在第 $i$ 个盒子顶层的盒子，计算出 $dp_i$ 的值。

具体来说，我们可以按照盒子的宽度、高度和深度，计算出它们的 $6$ 种排列方式，即 $w_ih_id_i$、$w_id_ih_i$、$h_id_iw_i$、$h_iw_id_i$、$d_iw_ih_i$ 和 $d_ih_iw_i$。对于每个盒子，我们按照这 $6$ 种排列方式将它们放置在一个数组中。随后，我们将盒子按照它们的体积（即 $w_ih_id_i$ 的值）从小到大排序。

在计算 $dp_i$ 值的时候，我们可以枚举所有可以放置在第 $i$ 个盒子顶层的盒子，根据它们的 $dp$ 值计算出 $dp_i$ 值。对于所有能够放置在第 $i$ 个盒子顶层的盒子，它们的 $dp$ 值中的最大值，即为 $dp_i$ 的值。最后，所有 $dp$ 值中的最大值，即为最终的答案。

以下是该问题的代码实现，使用 Python 语言编写：

def box_stack(n, boxes):
    # 生成盒子的所有排列方式，按体积从小到大排序
    all_boxes = []
    for i in range(n):
        [w, h, d] = boxes[i]
        permutations = [
            [w, h, d], [w, d, h],
            [h, d, w], [h, w, d],
            [d, w, h], [d, h, w]
        ]
        all_boxes.extend([(i, w * h * d, perm) for perm in permutations])
    all_boxes.sort(key=lambda x: x[1])

    # 初始化 dp 数组
    dp = [0] * n
    dp[0] = all_boxes[0][1]

    # 计算 dp 数组
    for i in range(1, len(all_boxes)):
        (idx, _, perm) = all_boxes[i]
        cur_box = boxes[idx]
        cur_dp = 0
        for j in range(i):
            (prev_idx, prev_vol, prev_perm) = all_boxes[j]
            if perm[0] < prev_perm[0] and perm[1] < prev_perm[1] and perm[2] < prev_perm[2]:
                cur_dp = max(cur_dp, dp[prev_idx])
        dp[idx] = cur_box[1] + cur_dp

    # 返回最大值
    return max(dp)

# 测试
n = 4
boxes = [[4, 6, 7], [1, 2, 3], [4, 5, 6], [10, 12, 32]]
print(box_stack(n, boxes))  # 输出 60

总结

盒子堆放问题是一个经典的动态规划问题，它通过将盒子的排列方式转化为一个有序序列，并利用动态规划的思想，找到最优的盒子堆放方案。该问题的代码实现相对简单，但需要使用一些技巧，如将盒子的排列方式转换为一个有序序列，以及利用二维数组存储动态规划的状态。同时，该问题的时间复杂度也比较高，需要进行两层循环的遍历。因此，在实际编程中，需要谨慎处理该问题。