Rabin加密系统及其实现

简介

Rabin加密系统是一种公钥加密方式，它由数论问题构成，它的安全性与RSA相当，但是Rabin加密系统的加密和解密速度比RSA要快一些，因为它的加密和解密运算都只是平方和模运算，而RSA加密和解密往往需要进行乘法运算。

与RSA相同，Rabin加密系统的安全性基于一个大的整数的分解难题，也就是说，如果攻击者能够分解这个整数，就能破解该加密系统。

实现

原理

Rabin加密系统的密钥对是一组(p, q)，其中p和q都是大素数，n=pq。加密时，将明文m转换为整数M，使M<n，然后计算密文C = M^2 mod n。解密时，需要知道模数p和q，计算n'=pq、M1=C^((p+1)/4) mod p、M2=C^((q+1)/4) mod q、并使用扩展欧几里得算法求出s和t，使得sp+tq=1。然后根据中国剩余定理计算出M对应的值，最后将其转换为明文m。

Python实现

下面是Python实现Rabin加密系统的代码：

import random

def is_prime(n: int) -> bool:
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def gcd(a: int, b: int) -> int:
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def extended_euclid(a: int, b: int) -> tuple:
    if b == 0:
        return (a, 1, 0)
    else:
        d, x, y = extended_euclid(b, a % b)
        return (d, y, x - y * (a // b))

def rabin_keygen(bit_length: int) -> tuple:
    p = q = None
    while True:
        p = random.getrandbits(bit_length)
        if is_prime(p):
            break
    while True:
        q = random.getrandbits(bit_length)
        if is_prime(q):
            break
    n = p * q
    return (n, p, q)

def rabin_encrypt(m: int, n: int) -> int:
    return pow(m, 2, n)

def rabin_decrypt(c: int, p: int, q: int) -> int:
    n = p * q
    m1 = pow(c, (p+1)//4, p)
    m2 = pow(c, (q+1)//4, q)
    _, sp, tq = extended_euclid(p, q)
    return (m1*tq*q + m2*sp*p) % n

# 测试
n, p, q = rabin_keygen(1024)
m = 123456789
c = rabin_encrypt(m, n)
decrypted_m = rabin_decrypt(c, p, q)
print(m == decrypted_m)

总结

Rabin加密系统是一种安全可靠的公钥加密方式，它的实现原理复杂，但是可以通过Python等高级编程语言来实现。在实际应用中，我们需要注意密钥的安全性和算法的速度。