检查数组是否有一些长度至少为 3 的回文子序列

在解决此题目之前，我们需要先了解一下回文子序列是什么。

回文子序列是字符串中的一个子序列，它从左向右和从右向左读取是相同的，但是不一定是连续的。

例如，字符串 "abba" 中，"a", "b", "a", "bb", "abba" 是回文子序列，而 "ab" 和 "abc" 不是回文子序列。

解决本问题的一种简单的方法是遍历数组中的所有子序列，检查该子序列是否为回文子序列。但是，这种方法的时间复杂度为 $O(2^n)$，其中 $n$ 是数组的长度，因此该方法不够高效。

我们可以采用动态规划算法来解决此问题。该算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。

以下是解决此问题的动态规划算法代码：

def checkPalindromeSubseq(arr):
    n = len(arr)
    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    
    for l in range(2, n + 1):
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l - 1
            if arr[i] == arr[j]:
                dp[i][j] = 2 + dp[i+1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
                
    for i in range(n):
        if dp[0][i] >= 3:
            return True
        
    return False

以上代码中，我们定义了一个 $n \times n$ 的动态规划数组 $dp$。其中，$dp_{i,j}$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的子序列是否为回文子序列的最大长度。

当 $i = j$ 时，显然 $dp_{i,j} = 1$。

当 $arr_i = arr_j$ 时，$i$ 到 $j$ 的子序列可以构成更长的回文子序列，即 $dp_{i,j} = 2 + dp_{i+1,j-1}$。

当 $arr_i \neq arr_j$ 时，$i$ 到 $j$ 的子序列不能同时包含 $arr_i$ 和 $arr_j$，因此我们需要排除其中一个元素，找到仅包含其中一个元素的子序列中的最大回文子序列长度。即，$dp_{i,j} = max(dp_{i+1,j}, dp_{i,j-1})$。

最后，我们只需要检查 $dp_{0,i}$ 是否大于等于 $3$，即可确定是否存在长度至少为 $3$ 的回文子序列。

以下是使用此算法的示例输入和输出：

arr = [1, 2, 1, 3, 4, 7, 5, 6, 1]
print(checkPalindromeSubseq(arr))  # 输出 True

以上程序的时间复杂度为 $O(n^3)$。对于较长的数组，此算法可能会变得很慢。但是，我们可以使用一些优化技巧来改进算法的性能。

总而言之，我们可以使用动态规划算法解决此问题，算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。