📅 最后修改于: 2023-12-03 15:26:42.291000 🧑 作者: Mango
在计算机科学中，二进制是一种基本的数字系统，它只包含两个数字 0 和 1。给定一些条件，我们可以计算出可能的二进制字符串的数量。
以下是一些可能的条件，用于计算给定长度的二进制字符串的数量：
对于条件 1，计算给定长度的二进制字符串数量非常简单。由于每个位置都可以是 0 或 1，因此字符串数量将是 2^n，其中 n 是字符串的长度。
对于条件 2 和 3，我们可以使用组合数学的知识。组合数是从 n 个物品中选择 k 个物品的方法数。对于条件 2，我们需要从 n 个位置中选择 k 个位置放置 1。对于条件 3，我们需要从 n 个位置中选择 n-k 个位置放置 0。因此，对于这两个条件，二进制字符串的数量将是：
C(n,k) (条件 2) C(n,n-k) (条件 3)
其中，C(n,k) 表示从 n 个物品中选择 k 个物品的组合数。 在python中可以使用math库的comb函数计算组合数。
import math
def count_bin_str_with_k_ones(n,k):
return math.comb(n,k)
def count_bin_str_with_k_zeros(n,k):
return math.comb(n,n-k)
两个函数分别返回满足条件2和条件3的二进制字符串数量。
对于条件 4，我们需要考虑连续的 1 的数量。可以使用动态规划来解决这个问题。设 $dp[i][j]$ 表示长度为 i，以 1 结尾，连续的 1 的数量不超过 j 的二进制字符串数量。则可以得到以下递推式：
$dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]$
$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1], 1 \leq j \leq m$
因为一定要以 1 结尾，所以 $dp[i][0]$ 的递推式不需要考虑连续的 1 的数量，和 $dp[i-1][0]$ 值相等。对于 $dp[i][j]$，可以选择不放置 1，也可以放置 1。如果不放置 1，则数量不会增加，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j]$。如果放置 1，则数量会增加 1，为了保证连续的 1 的数量不超过 m，需要考虑上一个位置的值，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1]$。
最终二进制字符串的数量是 $dp[n][0] + dp[n][1] + dp[n][2] + ... + dp[n][m]$。
def count_bin_str_with_no_more_than_m_consecutive_ones(n,m):
dp = [[0 for j in range(m+1)] for i in range(n+1)]
for i in range(1,n+1):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]
for j in range(1,min(i+1,m+1)):
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]
count = 0
for j in range(m+1):
count += dp[n][j]
return count
该函数返回满足条件4的二进制字符串数量。