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📅  最后修改于: 2023-12-03 15:39:46.229000             🧑  作者: Mango

把小盒子放在大盒子里,尽量减少盒子的数量

这个题目可以理解为一个装箱问题,我们有一些小盒子,需要把它们装到大盒子里,但我们要尽量减少大盒子的数量。

这是一个经典的组合优化问题,可以用贪心算法和动态规划算法解决。

贪心算法

贪心算法的思路是每次选取体积最大的小盒子先放进大盒子里,然后再选取次大的,直到不能再加入小盒子为止。这个算法的时间复杂度是 $O(n \log n)$,其中 $n$ 是小盒子的数量。

然而,这个算法并不一定能得到最优解。举个例子,假设小盒子的体积分别是 $7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$,而大盒子的体积是 $10$,按照贪心算法的思路,我们先选择 $7$ 和 $3$ 放进大盒子里,再选择 $6$ 和 $4$,最后剩下的 $5, 2, 1$ 无法再装进大盒子里了。但实际上,最优解应该是选择 $5, 4, 1$ 和 $3, 2, 1$ 这两个大盒子。

动态规划算法

动态规划算法可以解决这个问题。假设 $f_i$ 表示当大盒子的体积是 $i$ 时,最少需要几个大盒子才能把所有小盒子装进去。那么对于每个小盒子,我们可以考虑两种情况:

  1. 放进新的大盒子里。这个大盒子必须满足能够装下这个小盒子,并且剩下的空间能够放之前的小盒子(否则就需要新开一个大盒子)。
  2. 放进已有的大盒子里。我们可以遍历之前放过的每个大盒子,看看能否把这个小盒子放进去。

那么状态转移方程可以表示为 $f_i = \min{f_{i-v_j} + [v_j \leq i]}$,其中 $v_j$ 表示第 $j$ 个小盒子的体积,$[x]$ 是 Iverson 符号,表示当 $x$ 成立时为 $1$,否则为 $0$。

最终的答案是 $f_{V}$,其中 $V$ 是所有小盒子的体积和。这个算法的时间复杂度是 $O(nV)$,其中 $n$ 是小盒子的数量,$V$ 是所有小盒子的体积和。

因为动态规划算法的代码比较复杂,所以这里就不提供具体的实现了。如果你想进一步了解如何用动态规划算法解决这个问题,欢迎参考其他资料。