计算具有给定数字和的数字（小于或等于 N）

在一些编程的场景中，我们需要找到一个数字列表中所有数字之和满足某个条件的数字。

问题描述

给定一个整数 $N$，找到所有小于等于 $N$ 的数字 $x$，使得 $x$ 的各个数字之和等于给定的数字 $sum$。

例如，对于 $N = 20$ 和 $sum = 5$，可能的数字为 $5, 14, 23$。

解法

一种直接的思路是对于每个数字，分解它的每个数字，如果数字之和等于 $sum$，就把它加入结果中。

def find_numbers(N, sum):
    ans = []
    for num in range(1, N+1):
        digits = [int(x) for x in str(num)]
        if sum(digits) == sum:
            ans.append(num)
    return ans

这个算法的时间复杂度是 $O(N \log N)$，因为需要对每个数字的每个数字位进行操作。

我们可以使用一些数学方法来减少操作的次数。

首先我们可以发现，数字之和等于 $sum$ 的数字的数量是有限的，假设数量为 $k$。

此外，我们可以发现，如果我们已经找到了一个数字 $x_0$，使得它的数字之和等于 $sum$，那么我们可以通过对 $x_0$ 的某个数字位 $d$ 进行修改，得到一个新数字 $x_1$，它的数字之和等于 $sum$。

例如，如果 $x_0 = 123$，$sum = 6$，我们可以把 $d = 2$ 修改为 $4$，得到 $x_1 = 143$，它的数字之和等于 $sum$。

这个结论可以通过简单的计算得到。如果我们把数字 $x$ 的各位数字的和为 $s(x)$，那么 $x$ 的下一位数字 $d$ 可以表示为 $d = s(x) - 9k$，其中 $k$ 是一个非负整数。因为 $d$ 最多减小 $9$，所以我们只需要对 $k$ 进行枚举即可。

因此，我们可以采用如下的算法：

1. 枚举所有数字之和等于 $sum$ 的数字，并把它们加入结果集合中。
2. 对于每个已加入结果集合中的数字 $x$，依次对它的每个数字位 $d$ 进行修改，生成一个新数字 $x'$。如果 $x' \le N$ 且它的数字之和等于 $sum$，把它加入结果集合中。

def find_numbers(N, sum):
    ans = set()
    k = sum // 9
    for i in range(max(1, sum - 9 * k), min(N, sum + 1)):
        digits = [int(x) for x in str(i)]
        if sum(digits) == sum:
            ans.add(i)
    for x in list(ans):
        for d in range(0, 10):
            y = x + (sum(digits) - 9 * k - d)
            if y <= N and sum([int(z) for z in str(y)]) == sum:
                ans.add(y)
    return sorted(list(ans))

这个算法的时间复杂度是 $O(k \log N)$，其中 $k$ 表示数字之和等于 $sum$ 的数字的数量。

总结

在一些场景中，计算具有给定数字和的数字是一个常见的问题。我们可以通过直接枚举每个数字的每个数字位，或者通过一些数学方法减少操作的次数，来解决这个问题。